高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 1.4 第1课时 比较法证明不等式学案 北师大版选修.doc

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1、§4　不等式的证明第1课时　比较法证明不等式1．理解比较法证明不等式的理论依据．(重点)2．掌握用比较法证明不等式的一般方法及步骤．(重点)3．会用比较法证明简单的不等式．(难点)[基础·初探]教材整理1　求差比较法阅读教材P16“例1”以上部分，完成下列问题．1．理论依据(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)ab，只要证明a－b>0即可．这种方法称为求差比较法．3．步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断符号；(4)下结论．填空(填不等号)：(1)a∈R，a2＋b2___

2、_____2ab.(2)a，b，m为正数，bb.∴－＝＝<0，故填<.(3)x2＋1－x＝2＋≥>0，故填>.【答案】　(1)≥　(2)<　(3)>教材整理2　求商比较法阅读教材P16“例3”以上部分，完成下列问题．1．理论依据当b>0时，(1)a>b⇔>1，(2)ab(b>0)，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法．判断(

3、正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若>1，则a>b.(　　)(2)求商比较法的关键是将商与1比较．(　　)(3)求商比较法适合于任何两数的比较大小．(　　)【解析】　(1)×　若b>0时，>1⇒a>b.若b<0时，>1⇒a

4、b2＋1≥ab＋a＋b.【精彩点拨】　此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．【自主解答】　法一：化成几个平方和．∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二：a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1.对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.求差比较法证明不等式的技巧1

5、．求差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑能否化简或值是多少．2．变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．3．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．[再练一题]1．已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.【导学号：】【证明】　∵－(＋)＝＋＝＋＝＝≥0.∴原不等式成立.求商比较法证明不等式　已知a，b均为正数，且(a－b)(m－n)>0

6、.求证：ambn>anbm.【精彩点拨】　根据条件和结论，可作商与1比较，其中要用到指数函数的性质，由题设知a－b与m－n同号，再作分类讨论．【自主解答】　由a，b均为正数，易得anbm>0，ambn>0.＝am－nbn－m＝.由(a－b)(m－n)>0，得a－b与m－n同号且不等于零．(1)当a>b>0时，>1，m－n>0，∴>1，∴ambn>anbm.(2)当b>a>0时，0<<1，m－n<0，∴>1，∴ambn>anbm.综上，a，b均为正数，均有ambn>anbm.1．两端均出现4个字母a，b，m，n，变形为，将与m－n

7、视为两个整体，减少了字母讨论的个数．2．求商比较法证明的步骤是：“作商—变形—判断商与1的大小”．[再练一题]2．已知a>b>c>0，求证：a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b.【证明】　由a>b>c>0，得ac＋bbc＋aca＋b>0.不等式左右两边作商，得＝＝aa-b·aa-c·bb-c·bb-a·cc-a·cc-b＝··.∵a>b>0，∴>1，a－b>0，即>1.同理>1，>1.∴>1.即a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b.[探究共研型]比较法的应用探究1　求差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？【提

8、示】　求差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系．探究2　求商比较法主要适用的类型是什么？【提示】　主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明．　已知{an}是公比为q