高中数学 第1章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.3-1.2.5 学案 北师大版选修.doc

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1、1.2极坐标系1.2.3　直线和圆的极坐标方程1.2.4　曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化1.2.5　圆锥曲线统一的极坐标方程1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化.(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示.(难点)教材整理1　曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0；(2)极坐标满足

2、方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上.那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线.2.常见简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为C(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ圆心为C，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点A(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a过点A，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)过点A(a,0)，且与极轴成α角的直线的

3、极坐标方程ρsin(α－θ)＝asin_α(0＜θ＜π)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x＝.(　　)(2)直线ρcosθ＝2与直线ρsinθ＝2互相平行.(　　)(3)ρ＝cosθ表示一个圆.(　　)【解析】　(1)√　过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为，故正确.(2)×　ρcosθ＝2表示直线x＝2，ρsinθ＝2表示直线y＝2，这两直线互相垂直.(3)√　ρ＝cosθ可化为x2＋y2＝x，故正确.【答案】　(1)√　(2)×　(3)√教材整理2　曲线的极坐标方程与直

4、角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位.利用和把曲线的两种方程进行相互转化.填空：(1)曲线ρ＝1的直角坐标方程为_______________________________.(2)方程y＝2x的极坐标方程为_________________________________.(3)圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为_______________________________.【解析】　(1)ρ＝1，即ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.(2)把y＝ρsinθ

5、，x＝ρcosθ代入y＝2x，得ρsinθ＝2ρcosθ，即tanθ＝2.(3)ρ＝2cosθ即ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.【答案】　(1)x2＋y2＝1　(2)tanθ＝2　(3)(x－1)2＋y2＝1教材整理3　圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系.如图124，设定点F到直线l的距离

6、FK

7、＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝.图124①当0＜e＜1时，方程表示

8、椭圆.②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线.③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点.预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：求简单图形的极坐标方程　(1)求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上.【导学号：】【精彩点拨】　解答本题先根据题意画出草图，设点M(ρ，θ)后建立关于ρ与θ的方程化简即可.【自主解答】　(1)如图，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A以外的任意一点，

9、则∠xAM＝，∠OAM＝，∠OMA＝－θ.在△OAM中，由正弦定理得＝，即＝，所以ρsin＝，即ρ＝，化简，得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则

10、OA

11、＝2r，连结AM，则OM⊥MA.在Rt△OAM中，

12、OM

13、＝

14、OA

15、cos∠AOM，即ρ＝2rcos，∴ρ＝－4sinθ.经验证，点O(0,0)，A的坐标满足上式.所以满足条件的圆的极

16、坐标方程为ρ＝－4sinθ.∵sin＝，∴ρ＝－4sinθ＝－4sin＝－2，∴点在此圆上.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系；(2)在曲线上任取一点M(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4