高中数学 第1章 常用逻辑用语 §1.4　全称量词与存在量词同步精品学案 新人教A版选修.doc

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1、§1.4　全称量词与存在量词知识点一　全称命题与特称命题的判断　判断下列语句是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．分析　先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．解　(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．(5)若一个四边形是菱形，也

2、就是所有的菱形，故为全称命题．知识点二　判断全称或特称命题的真假　试判断以下命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)∃x∈Z，x3<1；(4)∃x∈Q，x2＝3.分析　要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．解　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋

3、2>0.所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1.所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(4)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．知识点三　全称或特称命题的否定　写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解　(1)綈p：

4、∃x∈R，x2－x＋<0.(假)这是由于∀x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形．(假)(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(真)这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0.(假)这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.考题赏析　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(海南，宁夏高考)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则(　　)A．綈p：∃x∈R，sinx≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≥1C．綈p：∃x∈R，sinx>1D．綈p：∀x∈R，sinx>1解析　命题p是全称命题，全称命题的否定是

5、特称命题．答案　C2．(山东高考)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析　全称命题的否定是特称命题．答案　C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．给出下列几个命题：①至少有一个x0，使x＋2x0＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x0，使x＋2x0＋1＝0成立．其中是全称命题的个数为(　　)A．1B．2C．3D．0答案　B解析　命题②③都含有全称量词

6、“任意的”，故②③是全称命题．2．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是(　　)A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0C．∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xyD．∃x0<0，y0<0，使x＋y≤2x0y0答案　A3．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　)A．所有被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除答案　C解析　全称命题的否定是特称命题．4．已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则(　　)A．綈p：存在x∈R，使cosx≥1B．綈

7、p：对任意x∈R，有cosx≥1C．綈p：存在x∈R，使cosx>1D．綈p：对任意x∈R，有cosx>1答案　C5．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，则命题“p且q”是真命题的充要条件(　　)A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤1答案　A解析　p真即a≤x2在1≤x≤2范围内恒成立，因x2∈[1,4]，所以a≤1；q真等价于Δ