高中数学 第1章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案 苏教版必修.doc

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1、第1课时 正弦定理(1)1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,了解正弦定理的推导过程.(重点)2.掌握正弦定理,并能解决一些简单的三角形的度量问题.(难点)3.解三角形时增解或漏解.(易错点)[基础·初探]教材整理1 正弦定理阅读教材P5~P7“思考”以上部分,完成下列问题.三角形的各边和它所对角的正弦之比相等.即==.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)正弦定理适用于所有三角形.(  )(2)在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.(  )(3)===2R,其中R为△ABC的外接

2、圆的半径.(  )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√教材整理2 解斜三角形阅读教材P7例1~P8,完成下列问题.1.解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的________个元素(至少有一个是________),求其余未知元素的过程.【答案】 三 边2.利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题(1)已知________,求其他两边和一角;(2)已知________与其中一边的________,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).【答案】 两角与任一边 两边 对角1.在△ABC中,a=3,

3、b=5,sinA=,则sinB=________.【解析】 根据=,有=,得sinB=.【答案】 2.在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3,则AC=________.【导学号:】【解析】 由正弦定理可知,=,所以AC===2.【答案】 2[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_________________________________________________解惑:_________________________________________

4、________疑问2:_________________________________________________解惑:_________________________________________________疑问3:_________________________________________________解惑:_________________________________________________[小组合作型]已知两角及任一边解三角形 在△ABC中,已知A=45°,B=30

5、°,c=10,求a,b,C.【精彩点拨】 利用正弦定理求解.【自主解答】 由正弦定理得,=,即a====10(-1).由=得,b===5(-).已知两角与一边求解三角形问题的基本解法1.若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.2.若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.[再练一题]1.在△ABC中,若tanA=,C=150°,BC=1,求AB,AC的值.【解】 ∵tanA=,∴sinA=,cosA=.

6、由正弦定理得AB===.又A+B+C=180°,∴B=180°-A-C=30°-A.∴sinB=sin(30°-A)=sin30°cosA-cos30°sinA=×-×=.∴AC===.已知两边与其中一边的对角,解三角形 在△ABC中,分别根据下列条件解三角形.(1)a=1,b=,A=30°;(2)a=,b=1,B=120°.【精彩点拨】 (1)先求sinB=,再利用大边对大角求B,进而求C及c.(2)先求sinA=的值再进行判断.【自主解答】 (1)根据正弦定理,sinB===.∵b>a,∴B>A=30°,

7、∴B=60°或120°.当B=60°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+60°)=90°,∴c===2;当B=120°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+120°)=30°,c===1.(2)根据正弦定理,sinA===>1.因为sinA≤1.所以A不存在,即无解.利用正弦定理解三角形,若已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍.[再练一题]2.在△A

8、BC中,c=,C=,a=2,求A,B,b.【解】 ∵=,∴sinA===.∵c>a,∴C>A,∴A=,∴B=π--=.∵=,∴b====+1.[探究共研型]判断三角形解的情况探究1 在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB吗?反之呢?【提示】 由A>B,得a>b,∴sinA>sinB,反之,亦然.探究2 在△ABC中,若A<90°,则a,b满足什么条件时,此△ABC有且只有一解?【提示】 当a=

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