高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 1 平行线等分线段定理学案 新人教A版选修.doc

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1、一　平行线等分线段定理1．掌握平行线等分线段定理及其两个推论．(重点)2．能运用平行线等分线段定理及其两个推论进行简单的证明或计算．(难点)[基础·初探]教材整理1　平行线等分线段定理阅读教材P2～P3定理以上部分，完成下列问题．1．文字语言如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．2．图形语言如图111，l1∥l2∥l3，l分别交l1，l2，l3于A，B，C，l′分别交l1，l2，l3于A1，B1，C1，若AB＝BC，则A1B1＝B1C1.图111教材整理2　平行线等分线段定理的推论阅读教材P4～P5“习题”以上部分，完成

2、下列问题．1．推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．2．推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN等于(　　)【导学号：】A．2.5　　　　　　　B．3C．3.5D．不确定【解析】　由梯形中位线定理知选B.【答案】　B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]平行线等分线段定理推论1的应用　如图112，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于G，

3、CE∥FB交AD的延长线于E.求证：AG＝2DE.图112【精彩点拨】　→→→【自主解答】　在△AEC中，∵AF＝FC，GF∥EC，∴AG＝GE.∵CE∥FB，∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E.又BD＝DC，∴△BDG≌△CDE.故DG＝DE，即GE＝2DE，因此AG＝2DE.1．如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位线定理来解决问题．2．本例在证明DG＝DE时也可以过D作EC的平行线DH.因为BG∥DH∥CE且BD＝CD得DG＝DE，使用平行线等分线段定理来证明．[再练一题]1．如图113，已知AD是三角形ABC的中线，E为AD的中点，BE的延长

4、线交AC于F.求证：AF＝AC.图113【证明】　过D作DH∥BF，交AC于H.∵BD＝CD，DH∥BF，∴FH＝CH.同理AF＝FH.∴AF＝FH＝CH，∴AF＝AC.　平行线等分线段定理推论2的应用　如图114所示，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝AB，E为AB的中点．求证：△ECD为等边三角形．图114【精彩点拨】　过E作EF∥BC，先证明EC＝ED，再连接AC，证明∠BCE＝30°，从而∠ECD＝60°.【自主解答】　过E作EF∥BC交DC于F，连接AC，如图所示．∵AD∥BC，E为AB中点，∴F是DC中点．　①又∵DC⊥

5、BC，EF∥BC，∴EF⊥DC.　②∴由①②知，EF是DC的垂直平分线，∴△ECD为等腰三角形．　③∵BC＝AB，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．又∵E是AB中点，∴CE是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝30°，∴∠ECD＝60°.　④由③④知，△ECD为等边三角形．1．解答本题的关键是通过证明△ABC是等边三角形来证明∠BCE＝30°.2．有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．[再练一题]2．如图115，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E，F分别是AB，CD的中点，EF交

6、BD于G，交AC于H.求证：EG＝GH＝HF.【导学号：】图115【证明】　∵E，F分别是AB，CD的中点，AD∥BC.∴EF∥AD，EF∥BC.∴G，H分别是BD，AC的中点．∴EG綊AD，FH綊AD，∴EG＝FH.∵BC＝2AD，EH＝BC，∴EH＝AD，又EG＝AD，∴GH＝EH－EG＝AD－AD＝AD，∴EG＝GH，即EG＝GH＝HF.[探究共研型]平行线等分线段定理探究1　你还有其它证明定理的方法吗？【提示】　证明：过B2作CD∥A1A3，分别交l1，l3于C，D，则可得到▱A1A2B2C和▱A2A3DB2.∴A1A2＝CB2，A2A3＝B2D.∵

7、A1A2＝A2A3，∴CB2＝B2D.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△B1B2C≌△B3B2D，∴B1B2＝B2B3.探究2　平行线等分线段定理的逆命题成立吗？【提示】　平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行，这个命题是错误的．(如图所示)　如图116，已知AC⊥AB，DB⊥AB，O是CD的中点，求证：OA＝OB.图116【精彩点拨】　由于线段OA和OB有共同端点，则转化为证明△OAB是等腰三角形即可．【自主解答】　过O作AB的垂线，垂足为E，如图所示．又∵AC⊥AB，DB⊥AB，∴OE∥AC∥DB.又∵O为CD

8、的中点，∴E为AB的中点，又OE⊥AB，∴△OAB是