高中数学 第1讲 坐标系 3 简单曲线的极坐标方程学案 新人教A版选修.doc

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1、三　简单曲线的极坐标方程1．了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点、易错点)3．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点)[基础·初探]教材整理1　曲线与方程阅读教材P12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题．在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲

2、线C上．教材整理2　极坐标方程阅读教材P12～P13“例1”以上部分，完成下列问题．一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．下列点不在曲线ρ＝cosθ上的是(　　)A.B.C.D.【解析】　点的极坐标满足ρ＝，θ＝－，且ρ≠cosθ＝cos＝－.【答案】　D教材整理3　常见的极坐标方程阅读教材P13～P15，完成下列问题．曲　线图　形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)

3、圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α或θ＝α＋π过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a过点，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0<θ<π)极坐标方程ρ＝cos所表示的曲线是(　　)A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆【解析】　∵ρ＝cos＝cosθ＋sinθ，ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，∴x2＋y2＝x＋y，这个方程表示一个圆．【答案】　D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：

4、　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]直线或射线的极坐标方程　求过点A(1,0)，且倾斜角为的直线的极坐标方程．【思路探究】　画出草图―→设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程检验．【自主解答】　法一　设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点．则∠xAM＝，∠OAM＝，∠OMA＝－θ.在△OAM中，由正弦定理得＝，即＝，故ρsin＝，即ρ＝，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π

5、，ρ≥0.法二　以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.∵直线的斜率k＝tan＝1，∴过点A(1,0)的直线方程为y＝x－1.将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入上式，得ρsinθ＝ρcosθ－1，∴ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0.法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．[再练一题]1．

6、若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？【解】　由题意，设M(ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin＝，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程．因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.极坐标方程与直角坐标方程的互化　若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线ρsin＝0与曲线C相交于A、B，求

7、AB

8、.【导学号：】【思路探究】　利用

9、极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解．【自主解答】　(1)因为所以ρ2＝x2＋y2，由ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)由ρsin＝0，得ρ＝0，即ρsinθ－ρcosθ＝0，∴x－y＝0.由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的半径为r＝，圆心(2,1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，∴

10、AB

11、＝2＝3.1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为

12、直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程