高中数学 第2章 参数方程 2.2 直线和圆锥曲线的参数方程 2.2.2-2.2.4直线和圆锥曲线的参数方程学案 北师大版选修.doc

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1、2.2直线和圆锥曲线的参数方程2.2.2　圆的参数方程2.2.3　椭圆的参数方程2.2.4　双曲线的参数方程1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程.2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程.(易错易混点)3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题.(难点)教材整理1　圆的参数方程1.标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点，半径为r，设点P(x，y)是圆周上任意一点，连结OP，令OP与x轴正方向的夹角为α，则α唯一地确定了点P在圆周上的位置.作PM⊥Ox，垂足为M，显然，∠POM＝α(如图223).则在Rt△POM中有OM＝OPcosα，MP＝OPsinα，图223

2、即(α为参数).这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.参数α的几何意义是OP与x轴正方向的夹角.2.一般圆的参数方程以(a，b)为圆心，r为半径的圆，普通方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的参数方程为(α为参数，a，b是常数).填空：(1)圆心为(2,1)，半径为2的圆的参数方程是________.(2)在圆(α为参数)中，圆的圆心是________，半径是________.(3)圆(α为参数)上的点到O(0,0)的距离的最大值是________，最小值是________.【解析】　(1)(α为参数).(2)由圆的参数方程知圆心为(

3、－1,0)，半径为1.(3)由圆的参数方程知圆心为(1,1)，半径为1.∵圆心到原点的距离为，∴最大值为＋1，最小值为－1.【答案】　(1)(α为参数)(2)(－1,0)　1　(3)＋1　－1教材整理2　椭圆与双曲线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)椭圆的中心在原点标准方程为＋＝1，其参数方程为(φ为参数).参数φ的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角.(2)椭圆方程不是标准形式其方程也可表示为参数方程的形式，如＋＝1(a＞b＞0)，参数方程可表示为(φ为参数).2.双曲线的参数方程当以F1，F2所在的直线为x轴，

4、以线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，双曲线的普通方程为－＝1(a＞0，b＞0).此时参数方程为(φ为参数).其中φ∈预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：求圆的参数方程　圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程.【精彩点拨】　根据圆的特点，结合参数方程概念求解.【自主解答】　如图所示，设圆心为O′，连结O′M，∵O′为圆心，∴∠MO′x＝2φ，∴1.确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易

5、把参数方程写成2.由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程.1.已知点P(2,0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【解】　设中点M(x，y).则即(θ为参数)，这就是所求的轨迹方程.它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆.椭圆的参数方程及其应用　如图224所示，已知点M是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值.图224【精彩点拨】　本题可利用椭圆的参数方程，把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解.【自主解答】　M是椭圆＋＝

6、1(a＞b＞0)上在第一象限的点，由椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设M(acosφ，bsinφ)，其中0＜φ＜，因此，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝OA·yM＋OB·xM＝ab(sinφ＋cosφ)＝absin.所以，当φ＝时，四边形MAOB面积的最大值为ab.本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，这是解题的突破口和关键，用椭圆的参数方程，将面积表示为参数的三角函数求最大值，思路顺畅，解法简捷，充分体现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性.2.椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴的正向交于点A，若

7、这个椭圆上存在点P，使OP⊥AP，(O为原点)，求离心率e的范围.【导学号：】【解】　设椭圆的参数方程是(a＞b＞0)，则椭圆上的点P(acosφ，bsinφ)，A(a,0).∵OP⊥PA，∴·＝－1，即(a2－b2)cos2φ－a2cosφ＋b2＝0，解得cosφ＝1(舍去)或cosφ＝.∵－1≤cosφ≤1，∴－1≤≤1.又椭圆离心率0＜e＜1.从而≤e＜1.双曲线的参数方程及其应用　如图225所示，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，证明：

8、PF1

9、·

10、PF2

11、＝

12、OP

13、2.图225【精彩点拨】　将双曲线方程化为

14、参数方程再利用三角运算进行证明.【自主解答】　因为双曲线的方程为x2－y2＝1，所以设P.∵F1(－，0)，F2(，0)，∴

15、PF1

16、＝＝，

17、PF2

18、