高中数学 第2章 参数方程 2.2 直线和圆锥曲线的参数方程 2.2.1 直线的参数方程学案 北师大版选修.doc

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1、2.2.1　直线的参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点)3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点)教材整理1　参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数①，并且对于t取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义

2、的量，但不能是没有实际意义的变数.(　　)(2)参数与变量x，y间存在函数关系.(　　)(3)点M(2,1)在曲线(t为参数)上.(　　)【解析】　(1)×　参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可以是没有实际意义的变数.(2)√　在参数方程中，参数与x，y存在函数关系.(3)×　x＝2时，2＝2×t得t＝1，而y＝1时t＝0≠1，故点(2,1)不在曲线上.【答案】　(1)×　(2)√　(3)×教材整理2　直线的参数方程1.经过点P(x0，y0)，倾斜角是α的直线的参数方程为(t为参数).①其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段的数量来表示.

3、2.经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为(λ为参数，λ≠－1).其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义与参数方程①中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段的数量比.当λ＞0时，M为内分点；当λ＜0时，且λ≠－1时，M为外分点；当λ＝0时，点M与Q重合.填空：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.(2)参数方程(t为参数)表示的直线的倾斜角是________.【解析】　(1)即(t为参数).(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.【答案】　(1)(t为参数)　(2)20°预习完成

4、后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：求动点轨迹的参数方程　如图221所示，OA是定圆的直径，长2a，直线OB与圆交于M1，和过A点的切线交于点B，MM1⊥OA，MB∥OA，MM1与MB交于点M，与OA交于点C，以O为原点，OA为x轴的正半轴，求动点M轨迹的参数方程.图221【精彩点拨】　引入弦OM1与x轴的夹角θ为参数，由解三角形知识将动点M(x，y)的坐标x，y分别用角θ表示，从而得到轨迹的参数方程.【自主解答】　设点M的坐标为M(x，y)，弦OM1与x轴的夹角是θ，取θ为参数，连结AM1，则有AM1⊥OM1，OC＝2acosθ·cos

5、θ＝2acos2θ，AB＝2atanθ，∴(θ为参数)，这就是所求的点M的参数方程.求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等)，使变量x，y之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程.1.过抛物线y2＝4px(p＞0)的顶点作互相垂直的两弦OA，OB，求AB中点P的轨迹方程.【解】　设OA的斜率为k(k≠0)，则解得A点坐标为.由解得B点坐标为(4pk2，－4pk).设AB的中点为P(x，y)，则(k为参数)，消去k得中点P的轨迹方程为y2＝2p(

6、x－4p)(p＞0).求直线的参数方程　已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.(1)写出直线l的参数方程；(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点.【精彩点拨】　根据直线过点(3,4)，且直线的倾斜角θ＝120°.代入得该直线的参数方程.然后与x－y＋1＝0联立可求得交点.【自主解答】　(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数).(2)把代入x－y＋1＝0，得3－t－4－t＋1＝0，得t＝0.把t＝0代入得两直线的交点为(3,4).求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用(t为参数)求；若已知两个定点，利用(λ为参数，λ≠－1)求.2.设直线l过点P(－3

7、,3)，且倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：(θ为参数)交于A，B两点，求

8、PA

9、·

10、PB

11、.【解】　(1)直线l的参数方程为(t为参数).(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得42＋2－16＝0，即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0.由t的几何意义，知

12、PA

13、·

14、PB

15、＝

16、t1·t2

17、，故

18、PA

19、·

20、PB

21、