高中数学 第2章 函数概念与基本初等函数I章末知识整合 苏教版必修.doc

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1、【金版学案】2015-2016年高中数学第2章函数概念与基本初等函数I章末知识整合苏教版必修1一、函数的定义域、值域的综合应用例1　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件f(－x＋5)＝f(x－3)，f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等的实根，问是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m，3n]？如果存在，求m，n的值；如果不存在，请说明理由．分析：主要考查二次函数的定义域、值域及与方程的结合．解析：∵f(－x＋5)＝f(x－3)，∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝＝1，即－＝1.　①又f(2

2、)＝0，即4a＋2b＋c＝0，　②又∵方程f(x)＝x有两个相等实根，即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(b－1)2－4ac＝0.　③由①②③可得：a＝－，b＝1，c＝0.则f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤.故3n≤，即n≤.∴f(x)在[m，n]上单调递增，假设存在满足条件的m，n，则：解得m＝0或m＝－4，n＝0或n＝－4.又m＜n≤，∴m＝－4，n＝0.即存在m＝－4，n＝0满足条件．点评：求二次函数的值域一般采用配方法，结合其图象的对称性．解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出

3、解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决．►变式训练1．若函数f(x)的定义域和值域都是[a，b]，则称[a，b]为f(x)的保值区间，求函数f(x)＝(x－1)2＋1的保值区间．解析：①当a1时，定义域里有1，而值域里没有1，∴不可能；③当1≤a

4、，故要考虑利用奇函数性质和单调性化为不含函数符号的不等式来求解．解析：由f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0得：f(kx)＞－f(－x2＋x－2)．∵f(x)为奇函数，∴f(kx)＞f(x2－x＋2)．又∵f(x)在R上是减函数，∴kx＜x2－x＋2.即x2－(k＋1)x＋2＞0恒成立．∴Δ＝(k＋1)2－4×2＜0，解得－2－1＜k＜2－1.点评：本题利用函数单调性与奇偶性将函数不等式f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0转化为kx＜x2－x＋2，是解决此题的关键．►变式训练2．定义在R上的函数f(x)满足f(0)≠0，且当x>0时，f(x)>1，对任

5、意a，b∈R均有f(a＋b)＝f(a)f(b)．(1)求证：f(0)＝1；(2)求证：对任意x∈R，恒有f(x)>0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)·f(2x－x2)>1，求x的取值范围．(1)证明：令a＝b＝0，得f(0)＝f2(0)，又∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)证明：当x<0时，－x>0，∴f(0)＝f(x)f(－x)＝1.∴f(x)＝>0.又∵x≥0时，f(x)≥1>0，∴对任意x∈R，恒有f(x)>0.(3)证明：设x10，∴f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)f(x1

6、)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.又f(x1)>0，∴f(x2－x1)f(x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)．∴f(x)是R上的增函数．(4)解析：由f(x)·f(2x－x2)>1，f(0)＝1得f(3x－x2)>f(0)，又∵f(x)为增函数，∴3x－x2>0⇒0

7、方程有两实根考虑使用判别式，有一根在(x1，x2)可用函数零点的性质．证明：由ax2＋bx＋c＝(ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c)得2ax2＋2bx－a(x＋x)－b(x1＋x2)＝0.由a≠0，故此方程判别式Δ＝(2b)2－4×2a[－a(x＋x)－b(x1＋x2)]＝2(2ax1＋b)2＋2(2ax2＋b)2≥0.∵x1＜x2，∴2ax1＋b≠2ax2＋b.∴Δ＞0.∴方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有不等的两实根．令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，g(x)是二次函数，则g(x1)·g(x2)＝·＝－[f(x1)－f(x

8、2)]2≤0.∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)＜0.∴g(x)＝0的根必有一