高中数学 第2章 变化率与导数 2.3 计算导数学案 北师大版选修.doc

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1、§3　计算导数1.理解导数的概念.(重点)2.会用导数定义求简单函数的导数.3.记住基本初等函数的求导公式，并能用它们求简单函数的导数.(难点)[基础·初探]教材整理1　导函数的概念阅读教材P38～P40“练习”以上部分，完成下列问题.一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.若函数f(x)＝(x－1)2，那么f′(x)＝________.【提示】　∵f(x

2、)＝x2－2x＋1，∴＝＝2x＋Δx－2.故f′(x)＝＝(2x＋Δx－2)＝2x－2.【答案】　2x－2教材整理2　导数公式表阅读教材P41“习题2－3”以上部分，完成下列问题.函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝xα(α是实数)y′＝αxα－1y＝ax(a>0，a≠1)y′＝axln_a，特别地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝，特别地(lnx)′＝y＝sinxy′＝cos_xy＝cosxy′＝－sin_xy＝tanxy′＝y＝cotxy′＝－给出下列命题：①y＝ln

3、2，则y′＝；②y＝，则y′＝－；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝.其中正确命题的个数为(　　)A.1B.2　　　C.3　　　D.4【解析】　对于①，y′＝0，故①错误；显然②③④正确，故选C.【答案】　C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　

4、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[小组合作型]利用导数公式求函数的导数　求下列函数的导数.(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝3x；(4)y＝log5x.【精彩点拨】　首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形

5、式.【自主解答】　(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.(3)y′＝(3x)′＝3xln3.(4)y′＝(log5x)′＝.1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.3.要特别注意“与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别.[再练一题]1.若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,则f′(x)－g′(x)＝__________.【

6、导学号：】【解析】　∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.【答案】　3x2－利用导数公式求函数在某点处的导数　质点的运动方程是s＝sint，(1)求质点在t＝时的速度；(2)求质点运动的加速度.【精彩点拨】　(1)先求s′(t)，再求s′.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导.【自主解答】　(1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴v＝cos＝.即质点在t＝时的速度为.(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′

7、＝－sint.1.速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数.2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.[再练一题]2.(1)求函数f(x)＝在(1，1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在处的导数.【解】　(1)∵f′(x)＝＝(x)′＝－x＝－，∴f′(1)＝－＝－.(2)∵f′(x)＝－sinx，∴f′＝－sin＝－.[探究共研型]导数公式的应用探究　已知函数f(x)＝tanx，试求f(x)的

8、图像在点处的切线方程.【提示】　f′(x)＝，∴f′＝4，即所求切线的斜率为4，故切线方程为y－＝4，即4x－y＋－＝0.　(2016·长沙高二检测)求过曲线f(x)＝cosx上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.【精彩点拨】　→→所求直线斜率k＝－→【自主解答】　因为f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，则曲线f(x)＝cosx在点P的切线斜率为f′＝－sin＝－，所以所求直线的斜率为，所求直线方程为y－＝，即y＝x－π＋.求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线