高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 3 双曲线学案 苏教版选修.doc

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1、2.3.1　双曲线的标准方程1.了解双曲线标准方程的推导过程.(难点)2.掌握双曲线两种标准方程的形式.(重点)[基础·初探]教材整理　双曲线的标准方程阅读教材P37～P38例1以上部分，完成下列问题.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系b2＝c2－a21.判断正误：(1)－＝1表示焦点在y轴上的双曲线.(　　)(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.(

2、　　)(3)双曲线的标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.(　　)【解析】　(1)×.方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线.(2)×.当a＝b时方程也表示双曲线.(3)×.双曲线的标准方程中a，b的大小关系不确定.【答案】　(1)×　(2)×　(3)×2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，＝，则C的方程是________.【解析】　右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c＝3.又离心率为＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故C的方程为－＝1.【答案】　－＝1[质疑·手记]预习完

3、成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：_______________________________________________________

4、_疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]求双曲线的标准方程　根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点P，Q；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；(3)与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1).【精彩点拨】　(1)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，利用待定系数法求解；(2)已知

5、焦点坐标，设双曲线方程为－＝1(0＜λ＜6)，把点(－5,2)的坐标代入求解；(3)根据条件设出双曲线的标准方程解方程组可求.【自主解答】　(1)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为双曲线过点P，Q，所以，解得，所以所求双曲线方程为－＝1.(2)因为双曲线的焦点在x轴上，c＝，所以设所求双曲线方程为－＝1(0＜λ＜6).因为双曲线过点(－5,2)，所以－＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去).所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1.(3)由题意，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).∵两双曲线有相同焦点

6、，∴a2＋b2＝c2＝4＋2.①又点P(2,1)在双曲线－＝1上.∴－＝1.②由①、②联立，得a2＝b2＝3.故所求双曲线方程为－＝1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论.(2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组；(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求.[再

7、练一题]1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2).【解】　(1)由已知得，c＝5,2a＝8，即a＝4.∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.∵焦点在x轴上，∴所求的双曲线标准方程是－＝1.(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，则，∴，∴双曲线方程为－＝1.曲线类型的讨论　已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别

8、指出方程所表示的曲线类型.【精彩点拨】　由方程满足圆、椭圆、双曲线的条件，对k的值分类讨论，确定曲线类型.【自主解答】　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0＜k＜1时，方程为＋