高中数学《3.2均值不等式》导学案(一)新人教B版必修.doc

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1、3.2 均值不等式(一)明目标、知重点 1.理解均值定理的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值定理证明简单的不等式.1.重要不等式对于任意实数a,b,a2+b2≥2ab,当且仅当时,等号成立.2.均值定理如果a,b∈R+,那么,当且仅当时,等号成立.3.算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a,b,数叫做a,b的算术平均值,数叫做a,b的几何平均值.故均值定理可以表述为:两个正数的算术平均值它的几何平均值.4.均值定理的常用推论(1)ab≤2≤(a,b∈R);(2)+≥2(a,b同号);(3)

2、当ab>0时,+≥2;当ab<0时,+≤-2;(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).[情境导学]在学习等差数列和等比数列时,我们知道两个正数a,b的等差中项和等比中项分别为、,那么这两个中项有什么大小关系哪?能不能相等?什么条件下相等?本节我们就来研究这个问题.探究点一 重要不等式a2+b2≥2ab思考 如何证明不等式a2+b2≥2ab?探究点二 基本不等式≤思考1 如果a>0,b>0,用,分别代替a2+b2≥2ab中的a,b会得到怎样的不等式?思考2 如何证明不等式≤(a>0,b>0)?思考3 对任意两个正实

3、数a,b,数叫做a,b的算术平均值,数叫做a,b的几何平均值.那么均值定理如何用它们表述?思考4 如果把看作是正数a,b的等比中项,看作是正数a,b的等差中项,该定理如何叙述?思考5 不等式a2+b2≥2ab与≤成立的条件相同吗?如果不同各是什么?例1 已知ab>0,求证:+≥2,并推导出式中等号成立的条件.跟踪训练1 已知a,b,c为不全相等的正数,求证:a+b+c>++.探究点三 均值不等式≤的几何解释思考 如图,以长为a+b的线段为直径作圆O,在直径AB上取点C,使AC=a,CB=b,过点C作垂直于直径AB的弦DD′.能否借助

4、该几何图形解释均值不等式的几何意义?例2 已知a,b,c都是正实数,且a+b+c=1,求证:++≥9.跟踪训练2 已知a、b、c都是正实数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.探究点四 利用均值不等式求最值例3 已知函数y=x+,x∈(-2,+∞),求此函数的最小值.跟踪训练3 已知函数y=x+,x∈(-∞,0),求函数的最大值.1.已知a>0,b>0,则++2的最小值是(  )A.2B.2C.4D.52.若0>>bB.b>>>aC.b>>>aD.b>a>>3.设a、b是

5、实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值是(  )A.6B.4C.2D.84.设b>a>0,且a+b=1,则此四个数,2ab,a2+b2,b中最大的是(  )A.bB.a2+b2C.2abD.5.设a>0,b>0,给出下列不等式:①a2+1>a;②≥4;③(a+b)≥4;④a2+9>6a.其中恒成立的是________.(填序号)3.2 均值不等式(一)【强化训练】一、基础过关1.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值是(  )A.-1B.+1C.2+2D.2-22.若a,b∈R,且ab>0,则下列

6、不等式中,恒成立的是(  )A.a2+b2>2abB.a+b≥2C.+>D.+≥23.若x>0,y>0,且x+y=4,则下列不等式中恒成立的是(  )A.≤B.+≥1C.≥2D.≥14.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为(  )A.8B.4C.1D.5.若a<1,则a+有最____(填“大”或“小”)值,为_______________________.6.若不等式x2-ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则a的取值范围是________.7.设a、b、c都是正数,求证:++≥a+b+c.二、能力提升8.

7、已知a,b∈(0,+∞),则下列不等式中不成立的是(  )A.a+b+≥2B.(a+b)≥49.设0210.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围为________.11.已知x>y>0,xy=1,求证:≥2.12.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)++≥8;(2)≥9.

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