高中数学《函数的概念和性质》学案2 湘教版必修.doc

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1、函数的概念与表示自主学习1．映射的定义：设是两个非空集合，如果按照对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作：．2．一一映射：对于从集合到集合的映射，若中的任意一个元素在中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的映射叫作从集合到集合的一一映射．3．象与原象：对于给定的一个集合到集合的映射，且，元素与元素对应，那么元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．设原象组成的集合为，则有，设与原象对应的象组成的集合为，则．4．函数的概念：如果、都是非空的数

2、集，那么从集合到集合的映射：叫做到的函数．原象的集合叫做函数的定义域，象的集合叫做函数的值域．5.函数的三要素：定义域；值域；对应法则．在这三要素中，值域可以由定义域和对应法则唯一确定，故可以说函数只有两要素．两个函数是同一个函数的条件是：它们的三要素均相同．教材透析知识点1映射是特殊的对应，其特殊性在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应．故判断一个对应是不是映射的方法是：首先检验集合中的每一个元素是否在集合中都有象，然后看集合中每一个元素的象是否唯一．知识点2函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合和集合

3、只能是非空数集．函数是映射，但是映射不一定是函数；函数不一定都有解析式．知识点3当且仅当两个函数的三要素均相同时，才是同一个函数．知识点4函数定义域一般有两种形式：即自然定义域和限定定义域．对于来自于实际问题中的函数，其定义域要符合问题的实际，属于限定定义域；自然定义域是函数自身的自变量的取值范围，有以下几种情况：①分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于零；③对数的真数和底数大于零，且底数不等于1；④指数式中，指数为零时，底数不能为零．典例剖析【题型1】求函数值【例1】如果函数对任意都有，试求的值.【解析】

4、∵对任意，总有f，∴当时应有，即，∴.又∵，∴，故有得，∴.∴.【点评】这是一个抽象函数的求值问题，关键是有一只条件确定的值，求出函数解析式．【变式与拓展】1.（2006年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则.【解析】由得，所以，则．【题型2】求函数解析式【例2】设是定义在上的函数，对一切均有，当时，，求当时，函数的解析式.【解析】设，则，又对任意的，有，∴，∴，又时，，∴.【变式与拓展】2.如果，求一次函数的解析式.【解析】设，则.由于该函数与是同一个函数，∴且，∴.当时，；当时，b=1+∴或.【题型3

5、】分段函数【例3】如右图，在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动，设点移动的路程为，的面积为.（1）求的面积与移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求的最大值.【解析】（1）这个函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.∴这个函数的解析式为（2）其图形如图所示：由图知，的最大值为.【点评】这是一个分段函数的球解析式问题，要注意在不同条件下列出对应的关系式，最后结果要写成分段函数的形式，注意自变量的取值范围．【变式与拓展】3.函数

6、的图象是【解析】函数化简得，所以选

7、B.能力训练一、选择题1．（2006湖北）设，则的定义域为（　B　）A.B.C.D.2.已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是（B）A.a＞B.C.D.3.（2004湖北）已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（　　）A.B.　　C.D.4.（2009江西）函数的定义域为（D）A．　　　B．　　　C．　　　　D．5.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是（D）A.10%B.15%C.18%D.20%6．（2006年广东）函数的定义

8、域是(B)A.B.C.D.二填空题7．函数y=的定义域为，值域为.8．（2004浙江文）已知则不等式的解集是.9．（2006年辽宁）设，则.10.设函数f（x）=，则使得的x的取值范围是.三解答题11.(2006年重庆)已知定义域为的函数满足，（1）若，求f(1)；又若，求；（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式.【解析】（1）因为对任意，有，所以，又由，得，即.若，则，即.（2）因为对任意，有，又因为有且只有一个实数，使得，所以对任意，有在上式中令，有又因为，所以，故或.若，则，即.但方程有两

9、个不同实根，与题设条件矛质，故.若，则有，即，易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为.12.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3min以内收费0.2元，超过3min的部分为每分钟收费0.1元，不足1min按1min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1min以内、1