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《高中数学《利用空间向量求空间角》学案 新人教版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高二二部数学学案NO.29立体几何中的向量方法——利用空间向量求空间角【课程标准】能用向量法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用【学习目标】1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.【自主学习】1.异面直线所成的角、线面角、二面角的范围分别是什么？2.两向量的夹角的范围是什么？3、向量的有关知识（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：（3）什么是直线
2、的方向向量？什么是平面的法向量？【典型例题】例1.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。ABOB1O1F1A1D1例2．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点，(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;(2)求二面角F-AE-D的余弦值。AA1C1B1DCBD1EF例3如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜
3、面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.ACBD巩固练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；⑶二面角B－AS－O的余弦值.OABCSACBD教学过程一、复习引入1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、
4、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）二、知识讲解与典例分析知识点1、异面直线所成的角（范围：）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的不大于90°的角，叫做异面直线a与b所成的角。a´b´•oab（2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，问题1当与的夹角不大于90°时，异面直线
5、a、b所成的角与和的夹角的关系？相等问题2当与的夹角大于90°时，异面直线a、b所成的角与和的夹角的关系？互补所以，异面直线a、b所成的角的余弦值为==nm,coscosq典型例题1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1,则A(1,0,0)B(0,1,0)F1(,0,1)D1(,,1)所以，异面直线BD1与
6、AF1所成的角的余弦值为知识点2、直线与平面所成的角（范围：）BAOnBAOn据图分析出直线与平面所成的角的正弦值为=典型例题2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点，A1zC1AD(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;D1(2)求二面角F-AE-D的余弦值。B1yBCx解：(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y
7、1=0取x1=1,得y1=z1=-1故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为n1n23、二面角（范围：）n1n2典型例题2(2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余弦值。解：(2)由题意知设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2),故m=(-2,1,-2)取y2=1,得x2=z2=-2所以又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值为典型例题3如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库
8、底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.解：如图根据向量的加法法则,于是，得设向量与的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.因此所以库底与水坝所成二面角的余弦值是OABCS三、巩固练习如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，
