高中数学《平面向量的数量积》学案 新人教A版必修.doc

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1、湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量的数量积》学案新人教A版必修4【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。【学习重点】平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角。【学习难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。【自主学习】一.情景设置在物理学中学过功的概念，一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W=

2、

3、×

4、

5、cosq，q是与的夹角.思考：W是什么量？F和S是什么量？它们之间有什么关系？W是标量（实数），F和S是矢量（向

6、量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。我们学过的向量运算结果都是向量。因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。二．阅读课本P103，回答下列问题：1．两个非零向量夹角的概念：_________________________________________________（1）当θ＝0时，与_______（2）当θ＝π时，与_______（3）当θ＝π/2时，与_______,记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是__________

7、,θ的范围__________2．平面向量数量积（内积）的定义：_____________________________________________规定：与任何向量的数量积都为_______思考：①定义中涉及哪些量？运算结果还是向量吗？②两个向量的数量积与向量同实数积的区别是什么？3．“投影”的概念是什么？向量的数量积的几何意义是什么？“投影”的概念：作图定义：_________叫做向量在方向上的投影思考：投影是一个数量还是一个向量？投影的正负与什么有关？×的几何意义：_________________________

8、__________________________4.非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0,何时为负？【合作探究】1．由向量数量积的定义，探讨它们的性质：（1）两个非零向量与，^Û×=_____（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量与，当与同向时，×=_________；当与反向时，×=__________（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cosq=___________（此性质可以解决向量的夹角问题）；（4）×=

9、

10、2，，（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）

11、；（5）

12、×

13、≤

14、

15、

16、

17、（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；2．对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？下列运算律是否成立？⑴；⑵⑶【合作讨论】判断正误，并简要说明理由.（1）若=，则对任一向量，有×=0()（2）若¹，则对任一非零向量，有×¹0()（3）若¹，×=0，则=()（4）若×=0，则、至少有一个为零()（5）若¹，×=×，则=()（6）若×=×，则=当且仅当¹时成立()（7）对任意向量、、，有(×)×¹×(×)()（8）对任意向量，有2=

18、

19、2(

20、)【精讲点拨】例1：我们知道，对任意的a∈R,b∈R，恒有（a+b）2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对于任意向量，，是否也有下面类似的结论？（1）（+）2=2+2+2；（2）（+）（-）=2-2例2：已知=6，=4，向量与夹角是600，求(1)（+2）.（-3）；(2)例3:已知=3，=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直?【知识梳理】（1）实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是非.（2）利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离等问题，它是一个工具性知识点，

21、具有很强的功能作用.【巩固拓展训练】1．下列命题中正确的是（）A．若，则或B．若，则C．若，则a在b上的投影为D．若，则2．已知两个大小相等的共点力，当它们的夹角为时，合力大小为20N，则当它们的夹角为时，合力大小为（）A．40NB．NC．ND．N3．在等边△ABC中，求①与的夹角；②与的夹角；③与的夹角；④与的夹角．4、设=12，=9，·=-54，求与的夹角θ。5、已知ΔABC中，AB=,AC=,当·<0，·=0时，ΔABC各是什么样的三角形？6、已知=1，=，(1)若∥，求·；(2)若、的夹角为６０°，求；(3)若-与垂

22、直，求与的夹角。