高中数学《指数函数及其性质》教案17（第二课时） 苏教版必修.doc

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1、第2课时指数函数及其性质(2)导入新课思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).应用示例思路1例1已知指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.活

2、动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.解：因为图象过点（3,π）,所以f(3)=a3=π,即a=π,f(x)=(π)x.再把0,1,3分别代入,得f(0)=π0=1,f(1)=π1=π,f(-3)=π-1=.点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.例2用函数单调性的定义证明指数函

3、数的单调性.活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则y2－y1=ax2－ax1=ax1（ax2-x1－1）.因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.又因为ax1＞0,所以y2－y1＞0,即y11,y1

4、可证,当0＜a＜1时,y=ax是减函数.变式训练若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？答案：＜a＜1.例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题：1999年底人口约为13亿;经过1年人口约为13（1+1%）亿;经过2年人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿;经过3年人口约为13(1

5、+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;经过x年人口约为13(1+1%)x亿;经过20年人口约为13(1+1%)20亿.解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则y=13(1+1%)x,当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.点评：类似此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)x等形如y=kax(k∈R,a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.思路2例1求下列函数的定义域、值域：(1)y=0.4;(2)y=3;(3)y=2x+1;(4)y=.解：（1）由x-

6、1≠0得x≠1,所以所求函数定义域为{x

7、x≠1}.由x≠得y≠1,即函数值域为{y

8、y>0且y≠1}.（2）由5x-1≥0得x≥,所以所求函数定义域为{x

9、x≥}.由≥0得y≥1,所以函数值域为{y

10、y≥1}.（3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1.所以函数值域为{y

11、y>1}.(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.因为y≠1,所以2x=.又x∈R,所以2x>0,>0.解之,得-2

12、-2

13、应注意书写步骤与格式的规范性.变式训练求函数y=()的定义域和值域.解：要使函数有意义,必须x+3≠0,即x≠-3，即函数的定义域是{x

14、x≠-3}.因为≠0,所以y=()≠()0=1.又因为y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).例2（1）求函数y=()的单调区间,并证明.（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=()x与