高中数学《等差数列的前n项和》学案2 新人教A版必修.doc

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1、等差数列的前n项和一、学习目标：1、掌握等差数列前n项和公式；2、能运用公式解决简单问题。二、例题分析第一阶段[例1]在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2？这些数的和是多少？思路分析：被3除余2的正整数可以写成3n+2(n∈N)的形式。解：由3n+2<100得，即0，1，2，3，…，31，32，所以在小于100的正整数中共有33个数被3除余2。把这些数从小到大排列出来就是2，5，8，…98，它们组成一个等差数列{an}，其中a1=2，a33=98，n=33，因此它们的和为说明：本题运用等差数列通项公式和前n项和公式解题。[例2]求等差数列

2、13，15，17，…，81的各项的和。思路分析：创造条件，使用等差数列前n项和公式。解：在这个等差数列中a1=13，d=2，an=81，由81=13+(n－1)×2，得n=35。说明：此题知道等差数列的首项、末项，要求和必须先计算出项数n。[例3]思路分析：知Sn是n的缺常数项的二次式，所以数列{an}为等差数列，可求出通项an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn。解：当n≥2时，an=Sn－Sn-1=－3n+104∵n=1也适合上式，由an=－3n+104≥0，得n≤34.7即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0(1)当n

3、≤34时，Tn=│a1│+│a2│+…+│an│=a1+a2+…+an(2)当n≥35时，Tn=│a1│+│a2│+…+│a34│+│a35│+…+│an│=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)－(a1+a2+…+an)=2S34-Sn第二阶段[例4]己知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，求项数。思路分析：利用等差数列性质进行求解。解：∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，[例5]等差数列{an}中，a1<0，S9=S12，该数列前多少项的和最

4、小？思路分析：写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件。解法一：设等差数列{an}的公差为d,，则由题意得即3a1=-30d，∵a1<0，∴d>0，∵d>0，∴Sn有最小值，解得10≤n≤11∴取10或11时Sn取最小值。解法三：∵S9=S12，∴a10+a11+a12=0，∴3a11=0，∴a11=0.∵a1<0，∴前10项或前11项和最小。[例6]己知两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为Sn，Sn´，思路分析：充分运用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题。解：因为{an}，{bn}

5、均为等差数列，所以2a9=a1+a17，2b9=b1+b17，∴S17=17a9，S´17=17b9，说明：解题过程中体现了化归思想。第三阶段[例7]从1到200的所有整数中，既不是2的倍数，又不是3的倍数的所有整数和是多少？思路分析：从1到200的整数中，所有2的倍数是首项为a1=2、公差d=2的等差数列，是3的部数且不是2的倍数依次组成以3为首项，6为公差的等差数列，求出这两个数列的和再从总数和中减去即可。解：∴满足条件的所有的数的和为20100-10100-3267=6733.说明：解数列问题也要善于将问题进行转化，进行逆向思考。[例8]等

6、差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A、130B、170C、210D、260思路分析：设前m项和为V1，第m+1到2m项之和为V2，第2m+1项到3m项之和为V3，则V1，V2，V3也成等差数列。解：于是V1=30，V2=100－30=70，公差d=70－30=40，∴V3=V2+d=70+40=110。∴前3m项之和S3m=V1+V2+V3=210。答案：C说明：如果等差数列共有3m项，那么它的前m项之和V1，中间m项之和V2与后m项之和V3仍成等差数列，同学们可以尝试给予证明。[例9]有一批影碟机（VCD

7、）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售，甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？思路分析：设单位需购买影碟机n台，在甲商店购买每台售价不低于440元时售价依台数n成等差数列，设该数列为{an}，则an=780+(n-1)×（-20）=800-20n由an≥440解不等式800－2n≥440，得n≤18。当购买台数小于18时，每台售价为80

8、0－20n元，在台数大于等于18台时每台售价为440元。到乙商店购买每台约售价为800×75%=600元，价差（800－20n)n－60