初中数学复习 相似三角形的性质.doc

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1、专题16相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有:1.对应角相等;2.对应边成比例;3.对应线段(中线、高、角平分线)之比等于相似比;4.周长之比等于相似比;5.面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题,性质5进一步丰富了面积的有关知识,拓展了我们研究面积问题的视角.如图,正方形EFGH内接于△ABC,AD⊥BC,设,,试用a、h的代数式表示正方形的边长.例题与求解【例1】如图,已知□ABCD中,过点B的直线顺次与AC,AD及CD的延长线相交于E,F,G,若,,则FG的长是.(“弘晟杯

2、”上海市竞赛试题)解题思路:由相似三角形建立含FG的关系式,注意中间比的代换.【例2】如图,已知△ABC中,DE∥GF∥BC,且,则()(黑龙江省中考试题)A.B.C.D.解题思路:△ADE,△AFG都与△ABC相似,用△ABC面积的代数式分别表示△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积.【例3】如图,在△ABC的内部选取一点P,过P点作三条分别与△ABC的三边平行的直线,这样所得的三个三角形t1,t2,t3的面积分别为4,9和49,求△ABC的面积.(第二届美国数学邀请赛试题)解题思路:由于问题条件中没有具体的线

3、段长,所以不能用面积公式求出有关图形的面积,可考虑应用相似三角形的性质.如图所示,经过三角形内一点向各边作平行线(也称剖分三角形),我们可以得到:①△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC;②;③;④.上述性质,叙述简捷,形式优美,巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题,简明而迅速,奇特而匠心独运,请读者给出证明.【例4】如图,△ABC中,O是三角形内一点,满足.求证:.(北京大学自主招生考试试题)解题思路:这实际上是一个著名的问题:布洛卡点问题.设P是△ABC内一点,满足,称点P是△ABC的布洛卡点,则有.【例5】如图,在梯形

4、ABCD中,AD∥BC,,,,.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动的时间为t秒.(1)求BC的长;(2)当MN∥AB时,求t的值;(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.(济南市中考试题)解题思路:对于(2),由,构造相似三角形,由三角形相似得对应边成比例,进而解决问题;对于(3),需要分情况讨论.在证明含线段平行关系的问题时,常常联想到以下知识:①勾股定理;②相似三角形面积比等于相似比的平方.【例6】设△A1

5、B1C1的面积为S1,△A2B2C2的面积为S2,当△A1B1C1∽△A2B2C2,且时,则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,,,连接AC.(厦门市中考试题)(1)若AD=DC,求证:△DAC与△ABC有一定的“全等度”;(2)你认为:△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗?若正确,说明理由;若不正确,请举出一个反例说明.解题思路:本题设置了“全等度”这一新概念,要求在对其理解的基础上进行辨析和判断,并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例,这是试题对概念理解考

6、查的有力保障..能力训练A级1.如图,在△ABC与△BED中,若,且△ABC与△BED的周长之差为10cm,则△ABC的周长为cm.(第1题)(第2题)(第3题)2.如图,△ABC中,,DE∥AC.若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为.(苏州市中考试题)3.如图,在△ABC中,DE∥BC,DE,CD交于F,且,则.4.若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm,则此正方形的边长为cm.(武汉市中考试题)5.如图,□ABCD中,E是AB的中点,F是AD的中点,EF交AC于

7、点O,FE的延长线交CB的延长线于G点,那么()A.B.C.D.(第5题)(第6题)(第7题)6.如图,直角梯形ABCD中,,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且.将△BEC绕点C旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,连接EF交CD于点M.已知,,则的值为()A.B.C.D.(荆州市中考试题)7.如图,△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE,BC分别交于点N,M,则下列结论错误的是()A.B.C.D.8.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,N点在CD上.若,则的值为()A.B.C.D.(第

8、8题)(第9题)9.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,.求证:.10.如图1,在Rt△ABC中,,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC于点E.图1图2(1)求证:△ABF∽△COE;(2)当O为AC边中点,时,如图2,求的值;(3)当O为AC边中点,时,请直接写出的值.(武汉

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