开普勒运动的可能轨道与宇宙速度.pdf

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1、开普勒运动的可能轨道与宇宙速度、变轨问题湖北省恩施高中陈恩谱一、开普勒运动的可能轨道天体或者人造天体在引力中心的作用下所作的运动都符合开普勒定律，故可统称为开普勒运动；以引力中心为极点建立极坐标系，根据牛顿定律可以算出开普勒运动的轨道方程为pr1ecos可见，开普勒运动轨道为圆锥曲线；若已知天体在顶点处的速度大小为v，极径大小为r，则半正焦弦222vrvrp，偏心率e1。GMGM双曲线⑤抛物线④vr·圆②椭圆③椭圆①则开普勒运动的可能轨道随v的大小的不同相应取不同的圆锥曲线：GM①v：pr，e0，为椭圆轨道，

2、如图中“椭圆①”；rGM②v：pr，e0，为圆周轨道，如图中“圆②”；rGM2GM③v：rp2r，0e1，为椭圆轨道，如图中“椭圆③”；rr2GM④v：p2r，e1，为抛物线轨道，如图中“抛物线④”；r2GM⑤v：p2r，e1，为双曲线轨道，如图中“双曲线⑤”。r二、地球上人造天体发射的三大宇宙速度1、第一宇宙速度GM在地面附近发射人造天体时，上述表达式中的r=R，则易知：v时，人造天体会沿椭圆轨道RGMGM回到地面，无法发射升空；只有v≥时，才可能发射升空，因此把v称之为第一宇宙速度，ⅠRR

3、即人造天体升空的最小发射速度。2、第二宇宙速度2GM但是，如果v≥=2v，则人造天体将沿椭圆、双曲线轨道运动，这就会运动到“无穷远处”ⅠR2GM而脱离地球引力的束缚；所以，把v=2v称之为第二宇宙速度。ⅡⅠR3、第三宇宙速度2GM当地面附近发射人造天体的（相对地球）速度v=时，R人造天体将（相对地球）沿抛物线轨道运动到离地球“无穷远处”而相对地球静止——实际上是运动到地球绕太阳的公转轨道上，与地球同步绕太阳“公转”；若在地面附近发射人造天体的（相对地球）速度过大（超过v），将导致人造天体在地球绕太阳Ⅲ公转轨道上的相对太阳的速

4、度超过地球公转速度的2倍（即v≥2v），则人造天体将相对太阳以抛物线、双曲线运动到地离太阳的“无穷远处”，即脱离太阳引力的束缚，逃出太阳系。这个相对地球的速度v就被称作第三宇宙速度，其计算涉及到参考系转换问题，就不在此赘述。Ⅲ下图即牛顿的人造卫星设想图。三、人造卫星的变轨问题如右图所示，发射同步卫星时，（1）通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1；（2）第一次在P点点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；这里为什么要点火加速呢？因为在P点，要使从圆周轨道Ⅰ卫星进入椭

5、圆轨道Ⅱ，相对圆周轨道来说，卫星做了离心运动，而要做离心运动，在万有引力不变的情况下，只有加速才能做到。（3）卫星运行到远地点Q时的速率为v，此时进行第二次点火2加速，在短时间内将速率由v增加到v3，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕2地球做匀速圆周运动。这里为什么又是点火加速呢？我们反过来想，如果卫星要在从圆周轨道Ⅲ进入椭圆轨道Ⅱ，则相对圆周轨道Ⅲ来说，卫星做了近心运动，而要做近心运动，在万有引力不变的情况下，只有减速才能做到；反过来，要从椭圆轨道Ⅱ进入圆周轨道Ⅲ，就必须点火加速。GM那么，有同学或许会问：根据圆周轨道速度公式v

6、可知，rQ圆周轨道越高，速度越小，即vv；可是从圆周轨道Ⅰ到圆周轨道Ⅲ，31经历了2次点火加速度，为什么在圆周轨道Ⅲ的速度反而比圆周轨道Ⅰv上的速度还小些了呢？其实，卫星在椭圆轨道Ⅱ并非匀速率运动，从P到Q，卫星实际上在做减速运动——卫星受到的引力F与卫星速度v夹角是钝角；这个减F速运动减速得这样厉害，以至于在P点时的速度v2比v1大，而到达Q点时的速度v甚至比v3还小，成了图上四个速度中的最小者！2当然，这个分析还可以从能量角度予以说明：卫星在椭圆轨道Ⅱ从P到Q做减速运动——卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动时，只受万有引力，因此机

7、械能守恒，而卫星离地球越远，引力势能越大，动能就必然越小。PGMmGMm圆周轨道的机械能为E、E，椭圆轨道的机132r2r13GMm械能为E，由于rar，可知EEE，则在P点从圆周轨道Ⅰ卫星进入椭圆轨道Ⅱ时，2131232aGMm由于引力势能E不变，则要使机械能增加，只能增加动能，即点火加速；同理，在Q点从椭p1r1圆轨道Ⅱ进入圆周轨道Ⅲ，也是引力势能不变，机械能增加，必须点火加速增加动能来实现变轨。图上的四个速度满足的关系是：vvvv，其理解可按如下框图进行：2312离心近心vvvv2

8、132圆周椭圆说明：本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019年6月第三次修订版。