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1、简单的线性规划[本讲主要内容]1.二元一次不等式表示平面区域2.线性规划约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解。[学习指导]在本节的学习中我们应明确以下几个问题：1.表示的直线的某一侧的平面区域不包括边界的直线,所表示的平面区域包括边界直线.即在坐标系中画不等式表示的平面区域时,应注意用虚线和实线对它们加以区分.2.在解决“例2”那样的最值问题时,用图解法往往比用代数解法更加准确(详细说明请见例题精讲例2中的[解题后的反思])3.本节的难点在于如何将实际问题转化成线性规划问题.下面的框图概括了将实际问题转化成线性规划问题的过程(详细说明请见例题精讲例
2、4)[例题精讲][例1]画出不等式组表示的平面区域.[分析及解]不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.不等式表示直线右下方的点的集合,表示直线右上方的点的集合,表示直线上及左下方的点的集合,所以不等式组表示的平面区域如图1所示阴影部分.[例1]已知实数x,y满足下列条件,求的最大值和最小值.[分析及解]根据已知条件知,不等式组表示的平面区域如图2所示阴影部分.要求的最大(小)值,需弄清z扮演的是什么角色,它是直线在y轴上的截距.当(x,y)对应图2阴影部分的不同点时,z将随着x,y的不同取值而变化,要求的最大(小)值,也就是要通
3、过运动的直线求得在y轴上的截距的最大(小)值.表示斜率为定值-2的一组平行直线.我们先作出以-2为斜率,经过(0,0)点的直线l0:2x+y=0,然后以它为基准,将它往右平行移动,在经过图2阴影部分内的点且平行于l0的直线中,以经过点D(1,1)的直线l1所对应的y轴上的截距最小,以经过点B(3,1)的直线l2所对应的y轴上的截距最大.即所以当实数x,y满足条件时,的最大值为7,最小值为3.[解题后的反思]我们用图解法解决了以上这个线性规划问题.对于这个线性规划问题能否用代数方法先求出x,y各自的取值范围,然后再求的最值呢?将不等式与相加,得到,进而解得.此时,可求出即为什么用代数方法求出的
4、结果与用图解法求出的结果不同呢?如图3显示出表示的平面区域比表示的平面区域的范围大.从而导致z的取值范围的扩大,为什么会出现这样的问题呢?因为在由得到的过程中,我们运用了不等式的性质:“若a>b,c>d,则a+c>b+d”,而这一性质不是充要的,也就是说,只是的必要条件,而非充分条件,从而导致了x,y的取值范围的扩大.通过以上分析、比较,我们得出这样的结论:在解决像例2这样的线性规则问题时,用图解法往往比用代数法更加准确.[例1]求不等式表示的平面区域的面积.[分析及解]对于绝对值不等式,我们可采用分类讨论的方法去掉绝对值符号.等价于或或或它们所表示的平面区域是以A,B,C,D为顶点的正方形
5、(如图4所示阴影部分)设四边形ABCD的面积为S,则所以不等式表示的平面区域的面积为8个单位面积.[例2]某工厂生产甲,乙两种产品,已知生产甲种产品1吨需耗煤9吨,电4千瓦,需劳动力3名;生产乙种产品1吨需耗煤4吨,电5千瓦,需劳动力10名.每1吨甲种产品的利润是7万元,每1吨乙种产品的利润是12万元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗煤不超过360吨,电200千瓦,所需劳动力不超过300名.甲,乙两种产品应各生产多少吨,能使利润总额达到最大?最大利润是多少?[分析及解]将已知数据列成下表:资源消耗量产品煤(吨)电力(千瓦)劳动力(名)产品利润(万元/吨)甲产品(吨)9437乙产品(吨)4
6、51012资源限额360200300设生产甲,乙两种产品分别为x吨,y吨,利润总额为z万元,则作出以上不等式组所表示的平面区域(如图5),即可行域.作直线l0:7x+12y=0,将l0向右上方平行移动至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,且在y轴上的截距达到最大,此时取得最大值.解方程组得M(20,24),此时(万元)答:生产甲产品20吨,乙产品24吨,可使利润总额达到最大,最大利润为428万元.[解题后的反思]像例4这样关于线性规划的实际问题的解题步骤是:(1)设出变量;(2)列出约束条件,目标函数;(3)画出可行域;(4)作出一条直线(例如z=0);(5)观察平行直线系的运动,求出目标
7、函数的最值.(6)检验所求得的几何问题的解是否满足实际问题的要求.其中(1),(2)是建立数学模型的过程,也就是将实际问题转化为数学问题的过程;(3)是将已建立的代数模型转化为几何模型,从而利用图解法求解;(4),(5)是利用图解法寻求到几何问题的解.最后应对所得的几何问题的解进行检验,从而得到实际问题的解.[例1]A,B两个产地分别生产同一规格产品12千吨,8千吨,而D,E,F三地分别需要8千吨,6千吨,6
