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1、第二章有限差分法的基本知识11、差分方程、差分方程22、截断误差、截断误差33、收敛性、收敛性44、稳定性、稳定性§1差分方程有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的代数方程组。以最简单一维对流方程为例，引入用差分方法求偏微分方程数值解的一些概念，说明求解过程和原理。考虑对流方程的初值问题⎧∂u∂u⎪+c=0x∈R,t>0⎨∂t∂x(1.1)⎪⎩u(x,0)=f(x)x∈R1区域的剖分(区域的离散化）网格剖分可以采用两组
2、平行于x轴和t轴的直线形成的网覆盖区域Ω，它们的交点称为网格结点（节点）t=t=nτn=0,1,2,?nx=x=jhj=0,±1,±2,?j节点(x,t)记为(j,n).jn间距h>0称为空间步长，间距τ>0称为时间步长。t(x,t)jn0x1微分方程离散(差分方程）高等数学中，我们学习过Taylor公式：设f(x)在x的某个邻域U(x,δ)内具有直00到n+1阶的导数，则∀x∈U(x,δ)有0f(x)=f(x)+f′(x)(x−x)+?+000(n)f(x0)n(x−x)+R(x)0nn!nRn(x)是余项，且Rn(x)=o((x−x0))(x→x0).设u是方
3、程(1.1)的解，对于任何节点(j,n)，u的微商与差商之间的关系式u(xj,tn+1)−u(xj,tn)∂=u(x,t)+o(τ),(向前差商）(1.2)jnτ∂tu(xj+1,tn)−u(xj,tn)∂=u(x,t)+o(h),(向前差商）(1.3)jnh∂xu(xj,tn)−u(xj−1,tn)∂=u(x,t)+o(h),(向后差商）(1.4)jnh∂xu(xj+1,tn)−u(xj−1,tn)∂2=u(x,t)+o(h),(中心差商）(1.jn2h∂x由于u是方程(1.1)的解，所以满足∂∂u(x,t)+cu(x,t)=0,(1.6)jnjn∂t∂x因此从
4、(1.2)和(1.3)得到u(x,t)−u(x,t)u(x,t)−u(x,t)jn+1jnj+1njn+c=0(τ+h),(1.7)τh为了保证逼近精度要求，实际取步长h与τ是较小的量，特别在进行理论分析的极限过程中它们都趋向于零。这样可以用方程n+1nnnu−uu−ujjj+1j+c=0(1.8)τhn近似代替，其中u表示u(x,t)的近似值。jjn将(1.8)改写成便于计算的形式n+1nnnu=u−cλ(u−u),jjj+1jj=0,±1,±2,?n=0,1,2,?,(1.9)这里λ=τ/h称为网格比。(1.8)和(1.9)称为（1.1）的（有限）差分方程(差
5、分格式）。问题(1.1)中的初始条件的离散形式是0u=f=f(x),j=0,±1,±2,?,(1.10)jjj初值问题(1.1)的差分格式n+1nnn⎧u−uu−ujjj+1j⎪+c=0⎨τh(显式右偏格式）(1.11)⎪u0=f⎩jj对同一微分方程可以建立种种不同形式的差分格式。在(1.1)中u对t采用向前差商，u对x采用向后差商和中心差商得n+1nnn⎧u−uu−ujjjj−1⎪+c=0⎨τh(左偏格式）(1.12)⎪u0=f⎩jjn+1nnn⎧u−uu−ujjj+1j−1⎪+c=0⎨τ2h（中心格式）(1.13)⎪u0=f⎩jj2积分插值法高等数学中，我们学
6、习过Green公式：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在上有一阶连续偏导数，则有∂Q∂P∫∫(−)dxdy=∫Pdx+Qdy=∫(Pcosα+Qcosβ)ds∂x∂yDLL其中L是D的取正向的边界曲线。其中α(x,y)、β(x,y)为有向曲线弧L上(x,y)处的切线向量的方向角。在平面上，取矩形域为积分区域，L=L+L+L+L是D的边界。将方程1234∂u∂u(1.1)在D上积分，得到∫∫（+c）dxdt=0∂t∂xDtL3HGL4L2EL1Fox利用Green公式，得∂u∂u（+c）dxdt=（un+cun)ds=0(1.14)∫∫
7、∫tx∂t∂xLD其中n与n分别是L的外法向单位向量n沿x方向xt与沿t方向的两个分量。把(1.14)左端分成在LLLL上的四个积分，1，2，3，4，~~~~得近似方程−uh+cuτ+uh−cuτ=01234~cτ既u=u−~(u−u)(1.15)3124h~~这里h是L与L的长度，τ是L与L的长度，1324u是可按不同方式确定的u在L上的近似函数值。ii11在网格中，点E,F,G,H依次为(n−,j−),22111111(n−,j+),(n+,j+),(n+,j−),222222tn+1HGnEFn-1j-1jj+1ox1nn−11nn并取u=(u+u),u=(
8、u+u),
