正项级数的Gauss指标判别法.pdf

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1、第38卷第11期2008年6月数学的实践与认识V01．38No．11MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORY正项级数的Gauss指标判别法’姬小龙，王锐利(济源职业技术学院基础部。河南济源454650)摘要：，在正项级数Gauss判别法的基础上，定义了正数列a。的Gauss指标G=limEntn(a。／n什1)一1]Inn．从而得到了正项级数的Gauss指标判别法．通过具体计算已有各种判别法的Gauss指标，结果表明，Gauss指标判别法是达朗贝尔、柯西、拉贝、高斯和Bertrand等5种判别法的推广．’关键词

2、：正项级数；Gauss判别法；Gauss指标1引言．在正项级数敛散性的判别法中，有著名的达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、高斯判别法和Bertrand判别法等等‘1‘引，JI等在文E33中建立了正项级数的Raabe对数判别法，类似于文E33，我们对正项级数的Gauss判别法进行了改进，定义正数列的Gauss指标，从而得出了正项级数的Gauss指标判别法．通过具体计算已有各种判别法的Gauss指标，结果表明，Gauss指标判别法是达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、高斯判别法、Bertrand判别法等5种判别法的推广．定义

3、设a。是正数列，称，G=lim[，2ln(a。／a。+1)一1]ln咒(1)为数列口。的Gauss指标．”定理A(Gauss指标判别法)设≥：口。为正项级数(以。>o)，记G为正数列口。的Gauss指标．则当G>l或G一+o。时，级数∑口。收敛；当G<1或G一一oo时，级数∑a。发散．定理B设a。是正数列，则下列三个条件等价：(a)lim[咒in(口。／a。+1)一13in以=G；(b)lim{■(口。／a什1)一1]一1}In卵一G；(c)a，，／口，⋯一l+(1／，2)+(GinIn胛)+O(1／行Inn)，(，z·+o。)．

4、2定理的证明引理1当z>0时，有不等式：x／(1+z)1或p=+。。时级数收敛；当p<1或卢一一o。时级数发散．定理A的证明对于正数列口。，若G=lim[以ln(a。／a。+，)一131n挖，则有收稿日期：2008—01—05(2)208数学的实践与认识38卷[，zln(以，，／以。+1)一1]in舱一G+o(1)，(咒一oo)，1n(口，，／a。+1)=(I／

5、n)+(G／nIn扎)+o(1／nIn咒)，(咒一co)，口，。／a，，+l—exp[(1／n)+(G／nIn卵)+0(1／nIn咒)]，(托一oo)，(日，。／a。+1)一1一exp[(1／n)+(G／nIn卵)+o(1／nIn竹)]一1～(1／n)+(G／以In，2)+O(1／咒in，2)，(挖—，oo)，[n(n，，／a，件1)一1]一1～G／inri+o(1／ln，2)，(，2一OO)，’lira([，2(以。／口。+1)一1]一1)in咒=G(3)于是有口。／a井1=1+(1／n)+(G／，zin咒)+o(1／nIn，2

6、)，(砬÷+oo)(4)反之，若(4)式成立，可推得G—liraInin(乜。／a，州)一1]In卯．事实上，由引理1得熹肄洪g急堕牟娶娑燃

7、nn．由(4)式及引理2知，定理成立，证毕．定理B的证明(证圈)由定理A的证明过程可知，(1)净(3)净(4)寸(1)，证毕．3一些推论推论1(D7Alembert判别法)设∑口。为正项级数(口。>o)，且limo。屈抖1)7=9，则⋯当q>1时，级数≥二口。收敛；当q<1时，级数≥：以。发散．证明当q>1时，Gauss指标G一+oo；当q<1时，Gauss指标G一一o。．一HF"--推论2(Cauchy判别法)设≥：‰为正项级数(口『l>o)，且lira(1／√口。)=q，则当q月—，oo>1时，级数≥：以。收敛；当g<1时，级

8、数≥：n。发散．证明当q>1时，计算得Gauss指标·G=+OO；当g<1时，Gauss指标G=一o。．推论3(Raabe判别法)设≥：口。为正项级数(以。>o)，且an／a。+，一1+z／以+o(1／n)，(挖一oo)．则当z>1时，级数≥：口。