线性空间维数与基的求法.pdf

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1、2011年第5期No.5.2011高等教育总第107期Sum107线性空间维数与基的求法王　康（吕梁学院汾阳师范分校山西吕梁032200）摘　要：线性空间作为高等代数中的一个重要概念，而线性空间的维数与基又是线性空间的一个基本属性，是我们认识线性空间的一个重要信息，二者必须深入理解。本文从数域对线性空间的各个方面的影响说明来它所起的作用，在此基础上探讨了求维数与基的一般方法和步骤。关键词：线性空间；数域；概念；维数与基的求法中图分类号：O151.2文献标识码：A文章编号：1000-9795（2011）05-0121-01维数与基是线性空间的一个基本属性，它的确立对于

2、我们认征值为。所以，矩阵在实数域识线性空间有着很大的作用。因为确定了维数和基以后线性空间上是无法相似于一个对角矩阵的，而在复数域上可以。上任意向量的坐标(即元数组)也就相应确定了，在学习了线性空间3.数域对一向量组线性相关性判别的影响的同构的知识后会知道，任意维线性空间都与同构，这样，我一般我们判定一组向量的线性相关性，是根据们可以通过的性质来研究任意线性空间的性质。向量方程的系数是否是全为零来判定的。同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同而应该是在某一个特定数域内来求解的。比如在维构、线性变换、欧氏空间的基础。但是，鉴于它是线性空间的一个数确定的问题

3、上，我们通常的做法是这样的：先取一个非零向量，基本概念，多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文在此基础上再添加非零向量进行扩充，然后判断所得向量组是否线献1例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定性无关，进而求得线性空间中的一极大无关组来确定维数。的障碍。虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即例4：分别在复数域上和实数域上考虑，任意两个非零复数要符合定义。本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的和的线性相关性，当然这里的数组与是不能归纳和总结，同时也是对《高等代数》例3的补充说明，希望对对应成比例的初学者认识线性空间以及后续的

4、学习有一定的帮助。解：在复数域上求解向量方程，可以一、数域上的线性空间——数域的作用和角色取，，所以在复数域上两个非零复数和凡是涉及数与空间中向量(取自集合中的元素)的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域。例如：线性变换、是线性相关的。同构定义中的第二条保持数量乘法，判别向量的线性相关性等这些而在实数域上求解的话，只能求得，所以在实数域问题都是依赖数域的。同一线性空间指定数域的不同，通常对上两个非零复数和是线性无关的。同理，如果再任意添于我们的结果也会造成很大差别。加非零向量则可判断必然线性相关。1.数域对线性空间的线性变换判别的影响可见，复数域在复数域

5、上考虑极大线性无关组是任意非零复数例1：把复数域看作复数域上的线性空间，，而在实数域上考虑极大线性无关组则是任意两个非零复数解：举反例如下，系数取自复数域，和。综上所述，在处理与线性空间有关的问题时，涉及到数乘向量，而，显然的运算的时候，其中数的范围均不能离开线性空间依赖的数域，，故变换不是线性的。而这一点也正是从线性空间的定义中来。例2：把复数域看作实数域上的线性空间，二、线性空间的基该如何确定解：系数取自实数域，，1.基是不唯一的，容易验证也保持根据基的定义，只要是线性空间中的极大线性无关向量组向量的加法，故是线性的。都可以作为的一组基。但是，为了用坐标(维向量

6、)表示向量的方可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，便，基的选取要尽量简单，但都要符合这一基线性无关的基本要有些不是线性的。求。2.数域对线性变换特征值及矩阵可否对角化的影响2.如何确定文献1中关于线性变换特征值的定义是要求符合等式在线性空间中任取一向量，将其表成线性空间一线性无关中的是取自线性空间所依赖的数域的，也就是说线性空间的向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。线性变换特征值的求解范围数域。进而，根据同一线性变换在不这一线性无关向量组就是我们要找的基。同基下矩阵相似的性质将任一矩阵对角化的时候，也就会产生不同例5：求与的交

7、的基和维数。的结果。设例3：线性变换在某一组基下的矩阵为，易知解：任取，则，且它的特征多项式是，那么它在实数域和复数域上的解的情况，，(注：此时是不一样的，在实数域上的特征值为，而在复数域上的特（下转第128页）收稿日期：2011-08-11作者简介：王　康（1982-），男，山西芮城人，从事代数几何教学方向的研究。1212011年第5期No.5.2011佳木斯教育学院学报总第107期Sum107院校的教师沟通毕业设计相关事宜，一定程度上也监督了毕业设计4.明确评分标准(论文)指导教师的职责履行。毕业设计的最后阶段就是考核，如何合理科学地评判成绩是教2.加强检查