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1、科技论坛中国高新技术企业线性系统的稳定性及判据文/李童彬【摘要】稳定性是系统的一个基本结构特征,是控制系统正常工作的首要条件,因此对稳定性的研究一直是系统控制理论的热点。对稳定性的研究方法除了古典控制理论的经典判据外,用得最多的就是现代控制理论中的李雅普诺夫第一法和第二法。本文将结合两种方法,介绍稳定性的定理判据。【关键词】系统稳定性特征多项式劳斯稳定判据李雅普诺夫方程一、引言定的,且不稳定根的个数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。稳定性是控制系统的重要性能,也是系统能够正常运行的首要根轨迹法是
2、一种图解方法,是根据系统开环零、极点的分布来研究条件。在许多实际问题中所建立的方程系统往往是非线性的,它要闭环系统的稳定性的一种很实用的工程方法;对于不知道系统的开比线性情况复杂的多,这时我们采取经过理想化,略去某些次要因环传递函数或无法应用劳斯稳定判据、根轨迹法来进行判断的系素,使得线性化的方法。控制系统在实际运行过程中,总会受到外界统,应用奈奎斯特、对数频率稳定判据,通过绘制开环奈奎斯特曲线和内部一些因素的扰动,例如负载和能源的波动、系统参数的变化、或对数相频、幅频曲线来进行相应判别就显得非常
3、方便。环境条件的改变等,如果系统不稳定,就会在任何微小的扰动下偏Nyquist稳定性判据:假如S沿着Nyquist路线绕一周,G(jW)H离原来的平衡状态,发生振荡越来越严重的现象,从而导致系统不(jw)轨线绕(-1,j0)点的周数为F(S)在右半S平面内的零点与极能正常工作。因此,系统稳定性的判别就成为自动控制理论研究的最点的个数之差。即N-1=Z-1—P-1。当Z-1=0时,闭环系统稳定,否基本任务之一。则系统不稳定。所以,奈奎斯特判据稍加推广还可用来分析某些非二、稳定性的判断定理线性系统的稳
4、定性。对稳定性的判别,前人已经提出许多方法,概括地说主要有:古李雅普诺夫第一法又称间接法,通过求解系统状态方程的解或典控制理论中的劳斯-胡尔维茨稳定判据、根轨迹法和奈奎斯特、对计算系统矩阵的特征多项式和特征值来判别系统的稳定性。李雅普数频率稳定判据等;现代控制理论中的李雅普诺夫第一法和第二法。诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系统的稳定性,劳斯稳定判据是一种通过列写劳斯表,判断第一列各值的符号对线性定常系统,它可以直接通过系统的特征根情况来分析。其基来判定系统稳定性的方法,常用于较易得到
5、系统闭环传递函数的系本思路与经典控制论中的稳定性判别思路基本一致。统。劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是设线性定常系统的动态方程为:否存在位于复平面右半部的正根,而不必求解方程。当把这个判据用于判断系统的稳定性时,又称为代数稳定判据。应用劳斯判据分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-2)析系统的稳定性时,可按下述方法进行:将系统的特征方程写成如在讨论系统状态稳定性(内部稳定)时,可以不考虑系统的输入下标准形式结构和输入信号u,只从系统的齐次状态方程或矩阵A出发。很明(2-1)
6、显,当
7、A
8、≠0时,Xe=0是系统的唯一平衡点。对于Xe=0的稳定性,我并将该方程各项系数组成如下排列的劳斯表们有如下判据(Xe大范围渐进稳定的充要条件):当线性定常系统的系统矩阵A的所有特征根都有负的实部时,其唯一的状态平衡点Xe=0是渐进稳定的,而且是大范围渐进稳定。对于(2-2)所示系统,其输入输出的传递函数为:W(S)=C(SI-A)-1b当W(S)的极点全部都有负实部时,该系统有界的输入将引起有界的输出(BIBO),也就是说系统是输出稳定的。可以证明,当(2-2)式所示系统的传递函数W(
9、s)没有零极点对消时,系统的状态稳定性和系统的输出稳定性是一致的。李雅普诺夫第二法也称直接法,直接由系统的运动方程出发,通过构造一个类似于“能量”的李雅普诺夫函数,并分析它及其一次导数的定号性而获得系统稳定性的有关信息。第二法因其概念直观,方法具有一般性,物理意义清晰,在理论和工程中都有广泛应用。李雅其中普诺夫稳定判据不仅适用于线性定常系统,还可用于部分时变系统系数bi的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。用同和离散系统。李雅普诺夫第二法不必求解系统的状态方程,而是通样的前两行系数交叉相乘的方
10、法,可以计算c,d,⋯⋯e,f,g各过一个系统的能量函数来直接判断系统的稳定性,所以又称直接行的系数。即法。它不但适合线性定常系统,而且适用于非线性和时变的系统。在实际系统中,往往不容易找出系统的能量函数,于是李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数V(x),作为系统的一个虚构的广义能量函数。根据V(x)的符号性质,可以判断系统的状态稳定性。设系统状态方程为:计算过程一直进行到第n+1行为止。为使运算简化,计算过程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2-3)中,可用一个正整数去乘或除某一行
