实变函数论课件5 开集、闭集、完备集.pdf

《实变函数论课件5 开集、闭集、完备集.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二．开集与闭集问题1：回忆直线上的开区间与闭区间，它们有何异同？定义1若集合E的每一个点都它的内点，则称E为开集。222例1R中的点集(x,x)

2、xx1是开集,1212223(x1,x2,x3)

3、x1x21,但R中的点集x03不是开集.ooE是开集EE,i.e.,EE证明：任取x∈(a,b),取δ=min{

4、x-a

5、,

6、x-b

7、},U(a,b)则(x,),从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。axb说明：要证E是开集，只要证EE(因为EE显然)命题点集E的内部E是开集.E(E)0,使得OExE(x,)yO

8、'd(x,y)(x,)则OOE(y,')(x,)OE(x,)x(E)OE(y,')从而E(E)，即E为开集O(x,)定义2若EE，则称E为闭集。222例2R中点集(x,x)

9、xx1是闭集,1212322R中的点集(x,x,x)

10、xx1,x0123123也是闭集.E是闭集EE命题3（i）E是闭集。O(x,)(E')'E'x(E')'EO(x',')0,有O(E'{x})(x,)取x'O(E'{x})，由x'E'(x,)知'0,有O(E{x'})(x',')(当'min{

11、d(x,x'),d(x,x')}时,有xOO）(x',')(x,)O(x,)知'0,有O(E{x'})(x',')(当'min{d(x,x'),d(x,x')}时,有xOO）(x',')(x,)EO(x',')O(E{x})(x,)(E')'E'命题3（ii）E是闭集。利用(E)'(EE')'E'(E')'E'E'E'E可得E为闭集E命题3（i）E是闭集。（ii）E是闭集。证明（i）设x(E),则对0,点xU(x,)s.t.xE.0101由第一节命题3知,0,使U(x,)U(x,)

12、.10又由xE知,U(x,)中有无限多个属于E的点,11从而U(x,)中存在异于x而属于E的点.00因此,x是E的聚点,xE.00由x是(E)中任意的点知(E)E,0所以E是闭集.（ii）设x0(E)。由命题1知xnEs.t.xnx0且xnx0。若x,x,x中有无限多个项属于E，则由命题1知xE。1230若x,x,x中仅有有限多个项属于E,则其余的无限多个项123属于E,由命题1知x(E)，从而由（i）知xE.00无论何种情况均有xEEE,0由x是(E)中任意的点知(E)E,所以E是闭集。0由命题3可知,点集E是闭集

13、EE。若无特别说明,今后凡说点集E的余集E均指NNRE,这里R是E所在的空间。定理2（i）开集的余集是闭集。（ii）闭集的余集是开集。证明（i）设G是开集,来证G是闭集：设x(G),则每个U(x,)均含有G的点,00即均含有不属于G的点,所以每个U(x,)都0不包含于G,可见x不是G的内点.由于开集0G的点均为G的内点,故xG,即xG.00G的聚点都属于G,故G是闭集。（ii）设F是闭集,来证F是开集：设xF,则xF.00由FF知xF,x不是F的聚点,00根据聚点的定义（并注意到x不属于F）知00使U(x,)中没有F的点,于是U(x,

14、)F,00从而x是F的内点,F的点都是F的内点,0故F是开集.由定理2可知,点集E为闭集E为开集.因此,当初如果定义“闭集即余集为开集的点集”来开展闭集的讨论,也未尝不可.cccca.(E)(E)(E)(E)b.若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集。N定理3（i）点集R及都是开集.n（ii）有限个开集G的交G仍是开集.iii1（iii）任意多个开集G,I的并G仍是开集.I证明（i）由开集的定义立即得证.（ii）只须证两个开集G、G的交GG是开集.1212设xGG,则xG且xG,从而存在正数、01201021使U(x,

15、)G、U(x,)G.2011022由第一节命题（3iii）,存在0使U(x,)U(x,)00i（i1,2）,从而U(x,)G（i1,2）,U(x,)GG,0i012故x是GG的内点,所以GG是开集.01212（iii）设xG,则存在I使xG.由G是00000I开集知存在0使U(x,)G,从而U(x,)000G,故x是G的内点.所以G是开