实变函数习题解答(胡适耕版).pdf

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1、第一章习题36．若AΔB=AΔC，则B=C．证一：（反证）不妨设，∃x0∈B,且x0∉C1)x0∈A,则x0∉AΔB，x0∈AΔC这与AΔB=AΔC矛盾2)x0∉A，则x0∈AΔB，x0∉AΔC这与AΔB=AΔC矛盾所以假设不成立，即B=C．证二：A∆(A∆B)=[A(A∆B)]U[(A∆B)A]=(AIB)U(BA)=B同理A∆(A∆C)=C，现在已知AB∆=∆AC故上两式左边相等，从而B=C．37．集列{An}收敛⇔{An}的任何子列收敛．证由习题8集列{A}收敛⇔特征函数列{χ}收敛，由数分知识得数列{χ}收敛nAnAn⇔{χ}的任一子列{χ}均收敛，又由习题8可得{A}收敛．A

2、nAnjnj38．设An={m/n:m∈Z}(n=1,2L),则limAn=Z，limAn=Q．nn证显然有Z⊂limA⊂limA⊂Qnnnn1）假设∃x∈QZ,使x∈limAnn∴∃N>0,当n>N时，有x∈A，特别地，x∈A，x∈Annn+1mmmm∴∃m,mZ,使x=1,x=2∴1=212∈nn+1nn+1m从而1m=m+,这与m2∈Z矛盾，所以假设不成立，即：limA=Z．21nnnm2）∀x∈Q,则∃m,n∈Z,使得x=nkmmn⋅mn⋅∴x===…==…2k+1nnn∴x∈Ank,(k=1,2…),从而x∈limAn∴limAn=Q．nn39．设0

3、则lim[,]ab=(0,1]．nnnnnnn证∀∈x(0,1]1)∵0N0,当n>N时，有aN时，x∈[a,b]∴(0,1]⊂lim[,]ab．nnnnn2)假设∃y>1,使y∈lim[,]ab，则y属于集列{[,]ab}中的无限多个集合．又因nnnnn为y>1,b↓1，故∃N>0,当n>N时，有bN时，y∉[,]abnnnn从而y只会属于集列{[,]ab}中的有限多个集合．nn这与y会属于集列{[,]ab}中的无限多个集合矛盾．nn所以假设不成立，即∀y∈(1,)∞,有y∉lim[,]ab．nnn显然，∀y∈(−∞

4、，0]有y∉lim[,]ab,故lim[a,b]⊂(0,1].nnnnnn综上所述，lim[,]ab=(0,1]．nnn40．设fn：X→R（n→∞）,fn→χA(n→∞),求limXf(n≥1/2)．n解1）∀x∈A，f→χ(n→∞)，故fx()→χ()1x=(n→∞)．0nAn0A0∴∃N>0,当n>N时，有fx()>1/2．n0∴当n>N时，x∈Xf(≥1/2)，从而x∈limXf(≥1/2)．0n0nnc2）∀x0∈A，fn→χA(n→∞)，故fxn()0→χA()x0=0(n→∞)．∴∃N>0,当n>N时，有fx()>1/3．n0∴x∉limXf(≥1/2)∴limXf(≥1/2)

5、=A0nnnn41．设{A}为升列，A⊂UA，对任何无限集B⊂A,存在n使BIA为无限集，则Annn含于某个A．n证假设A不含于任何A中,又{A}为升列，nn则对n=1，∃x1∈AA1，由于A⊂UAn，故∃n1∈N，使x1∈An1，即x∈AA；对n=2，∃x∈AA，又A⊂UA故∃n∈N使1n1122n2x∈A⊂A⊂L．于是可取n>n使x∈AAL．因此对n=i，∃n>n，2n2n2+1212n22ii−1x∈AA．inii令B={x1,x2,…xi…}，则B⊂A且B为无限集，但∀i,BIAni={x1,x2,…xi}为有限集，这与已知条件矛盾．∴假设不成立，即A含于某个A中．n42.

6、设f:2x→2x，当A⊂B⊂X时f(A)⊂f(B)，则存在A⊂X使f(A)=A．∆X证因为f(X)⊂X，故子集族P(X)={B∈2:f(B)⊂B}非空，令0∆A=IB⊂X，下证：B∈P(X)0o1f(A)⊂A，即要证A∈P(X)．首先由定义A⊂B对每个B∈P(X)成立，那么00由已知就有f(A)⊂f(B)对一切B∈P(X)成立，从而f(A)⊂f(B)⊂B=A．0IIB∈P(X)B∈P(X)00∆o2再证A⊂f(A)．为此，由A的定义，只要能证f(A)=A∈P(X)就可以了．但从00o1已证的A=f(A)⊂A，又由已知f的单调性应有f(A)=f[f(A)]⊂f(A)=A，故000确定A∈P(X

7、)．0043.设X是无限集，f:X→X，则有X的非空真子集A，使f(A)⊂A．证∀x1∈X，若x1≠x2，令x2=f(x1)若x2≠x3，令x=f(x)…32若x≠x，令x=fx()…nn−1nn−11）若存在x=x，则令A={x1,x2,…xi}，显然f(A)⊂A．ii+12）若不存在x=x,则令A={x1,x2,…xi,…}，显然f(A)⊂A．ii+144.设

8、A

9、>1,则有双射f:A→A,使得∀x∈A: