弹性力学2-两平面问题、平衡微分方程.pdf

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1、第二章平面问题的基本理论本章内容2.1平面应力与平面应变2.2平衡微分方程2.3一点的应力状态2.4几何方程2.5物理方程2.6边界条件2.7圣维南原理2.8按位移求解平面问题2.9按应力求解平面问题2.10常体力情况下的简化第二章平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题zCzzxzy空间问题的数学描述：yxxyzyxzxybyxzyxyzaxy弹性微元体体在外界力的作用PBxzxzy下，在x、y、z三个方向均会产Az生应力、应变及位移。yx15个未知函数—6个应力分量：,,,,,xyzxyyxyzzyzxxz6个应变分量

2、,,,,,xyzxyyxyzzyzxxz3个位移分量：u、v、w。一般都是三个坐标参数x、y、z的函数；基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。第二章平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题具有特殊形状及受平面问题力特点的空间问题xOzCzyxyzxzyyxxyzyxyyxzxybyxxxzyzaxyPBxyxzxzyAzyxyyyx15个未知函数8个未知函数6个应力分量：x,y,z,xyyx,yzzy,zxxz3个应力分量6个应变分量：,,,,

3、,xyzxyyxyzzyzxxz3个应变分量3个位移分量：u、v、w2个位移分量第二章平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题平面问题的数学描述15个未知函数中只存在有xoy平面内的分量，且只是x、y的函数，其余分量或不存在，或可以用xoy平面内的分量直接表示（胡克定律）；应力、应变及位移一般是x，y两个坐标的函数；基本方程式是二维的。第二章平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。平面应力问题t/2t/2几何形状特征：物体在一个坐标方向oxz（一般为z向）的几

4、何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸—薄板。yy载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，体积力亦平行于板面且沿厚度不变。第二章平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题定义xyz坐标系，以薄板中面为xy面，垂直于中面直线为Z轴。因为板面上不受力，所以0,zzzxzy2由于剪应力互等，有0,0,zxzyz2板很薄，外力不沿板厚变化，应力沿板厚均匀分布，可认为整个薄板各点只有平行于oxy平面的三个应力分量，即,,xyxyyx因此叫做平面应力问题，其中3个非零应力；独立的未知函数有8个，x,y

5、,xy,,xy,xy,,uv只是x和y的函数，不随z而变化。注意：z0t/2t/2由广义虎克定律得到oxz1zzxyxyEEyy第二章平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题平面应力问题xxzxyzxxOyxyzyzxyxxyxxyzxyyyxoyyzy第二章平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题平面应力问题实际工程：板、墙。第二章平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题平面应变问题几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长（相对无限长），且所有垂直于z轴的横截面都相

6、同，即为一等截面柱体；位移约束条件或支承条件沿轴方向也相同。载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均平行于横截面，且分布规律不随z变化。应力、应变及位移分量都不会沿z向变化，只是x、y的函数。由于对称（无限长，任一横截面都可以看作是对称面），所有各点都只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，即w0因为所有各点的位移矢量都平行于oxy面，应变也只发生在xoy平面内，所以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。第二章平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题由对称条件可知，0,0zxzy根据剪应力互等，0,0xzyz由虎克定律，得出0,0,0,

7、0zxzyxzyz在平面应变问题中，非零应变3个，独立的未知函数有8个，x,y,xy,,xy,xy,,uv只是x和y的函数，不随z而变化。注意：由于z方向的伸缩被阻止（w=0），所以z0由广义虎克定律得到zxy第二章平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题平面应变问题微元体应力xOyyxxyxxxyyxyy第二章平面问题的基本理论2.1平面