平行四边形存在性问题的解题策略.pdf

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1、ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志2015年第12期平行四边形存在性问题的解题策略浙江省桐庐县分水初中教育集团玉泉校区311519胡柳青平行四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题利用△AEM≌△BDM来求解．那么这个中点公式对平中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的行四边形的存在性的解决有什么帮助呢?存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较1．2平行四边形对角线互相平分的妙用高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函我们知道平行四边形的对角线互相平分，即对角数解析

2、式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数线的中点互相重合．如果平行四边形ABCD的四个顶学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)学思想．学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，x1+x3x2+x4y1+y3y2+y4可得:=，=，即x1+x3=x2导致漏解．此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用2222平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利+x4，y1+y3=y2+y4，即平行四边形每条对角线上两完

3、成的难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分个顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．根据这类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢．借助个结论就可简洁地解决平面直角坐标系中平行四边平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在形存在性问题．性问题就是一个很好的途径．例1如图3，A、B、C是平面上不在同一直线上1平行四边形对角线互相平分的坐标探究的三个点．①画出以A、B、C为顶点的平行四边形;②1．1线段中点坐标的公式探索若A、B、C三点的坐标分别为(－1，5)、(－5，1)、(2，如图1，在

4、平面直角坐标系中，若A点坐标为(x1，2)，请写出这个平行四边形第四个顶点D的坐标．0)，B点坐标为(x2，0)，M为AB中点，则M的坐标为()．若C点坐标为(0，y1)，D点坐标为(0，y2)，N为CD中点，则N的坐标为()．图3图4解析此题是解决平行四边形存在性问题的基础题，由于有三个点已经确定，在作图时，一般会分别图1图2选择AB、AC、BC为对角线来进行画图，但这样的前提解析设M的坐标为(x，0)，由M是AB的中点，是要有三个定点．然而很多灵活复杂的此类问题却往x+x往只有两个定点，所以

5、可以把其中的以BC为对角线12可得x－x1=x2－x，解得x=，同理可求得N的2转换成以AD为对角线，这样就可以以不变应万变了，y+y只要取定已知点比如A，然后按AB、AC、AD分别为对12坐标(0，)．进一步可得结论:如图2，在平面直角2角线来进行分类．这样能够比较明确的得到所有情况，坐标系中，若A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，而且可以避免遗漏．x+xy+y如图4，以AB为对角线的平行四边形AD1BC;以1212M为AB中点，则M的坐标为(，)．简证如AC为对角线的平行四边

6、形ABCD2;以BC为对角线的22平行四边形ABD3C．设D1坐标为(x，y)．在平行四边形下:过M、A分别作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行AD1BC中，对角线AB与CD1互相平分，也就是AB的线，可得:C点坐标(x2，y1)，D为BC中点，所以D点坐中点与CD1的中点重合，A、B、C三点的坐标分别为(－y+yy+y1212标(x2，)，E点坐标(x1，)，又M为ED中1，5)、(－5，1)、(2，2)，所以可得方程组:22－1－5=x+2，x1+x2y1+y2{5+1=y+2．解得D1的坐

7、标为(－8，4);同理点，所以M的坐标为(，)．这个结论也可以2240中学数学杂志2015年第12期ZHONGXUESHUXUEZAZHI17332+a=1+3，可得D2(，)，D3(－，)．2222142{0+1=a－a+2+b，归纳在解答平面直角坐标系中平行四边形存33在性问题时，首先可将四个点的坐标表示出来，然后112解得:a=2，b=，所以M(2，)，N(2，)．利用与其中一点有关的三条线段分别为对角线进行333分类，最后根据对角线互相平分时中点重合，构造方3巧用对角线探究平行四边形的适

8、度拓展程组进行求解．在一些问题中，还常常会要求学生讨论菱形、矩2巧用对角线探究平行四边形的存在性形的存在性．此时我们可在上述基础上增加相应条件，利用对角线进行分类讨论，再利用对角线互相平如增加两条对角线互相垂直、邻边相等得到菱形，增分构造等量关系，是否也能处理比较复杂的存在性问加邻边互相垂直、对角线相等得到矩形，利用点坐标题呢?下面以2015年的一道中考题为例，作一说明．求得相应线段的长度从而求解．事实上利用坐标求解例2(2015年湖北)的思路还适用于等腰三角形、直角三角形、圆的存在如图5，边长