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1、2009年第5期P4的坐标).边和角的对应关系分类讨论,但仔细推敲就会当POB为直角时,点P在x轴上,不符发现,本题实际上有一定的难度,问题中蕴含着合要求.(二次)分类的智慧,分类的情况比较复杂.解综合以上可得,符合条件的点有四个,分别这类问题时,要求学生要多读试题,首先确定分33333类的方向,理好解题思路,寻求变化的规律,然是:P1(3,),P2(1,3),P3(,),P4(,3444后再层层递进,一环扣一环,探究出符合问题要3求的全部解.这类问题较好地考查了学生分析).4问题、应用数学模型解决问题的能力,充分体现评注:本题作为中考的压轴题
2、是一道极具出分类讨论思想在解决数学上问题的优越性.典型意义的试题,表面上来看很简单,就是根据(初三)怎样添加正方形中的辅助线湖北省浠水县实验中学(438200)周东庭梅迎春正方形是几何中的重要内容.有些正方形二、作平行线问题,若不添加适当的辅助线,则难以解决.怎例2(2008年嘉兴市样添加正方形中的辅助线呢?中考试题)如图2,正方形一、作对角线ABCD中,点E、F分别在例1如图1,已知E、AD、BC上,点G、H分别在F分别是正方形ABCD的边AB、CD上,且EFGH,求BC、CD上的点,AE、AF分别EF的值.与对角线BD相交于M、N
3、,GH若EAF=50,则CME解:如图2,作AMEF交BC于点M,作+CNF=.DNGH交AB于点N,则AM=EF,DN=GH.解:如图1,连接AC.因为EFGH,AMEF,DNGH,因为四边形ABCD是正方形,所以AMDN,所以AD=CD,ADN=CDN=45.所以AMB=90-BAM=AND.又DN=DN,又AB=AD,ABM=DAN=90,所以ADNCDN(SAS).所以ABMDAN(AAS),所以AN=CN,所以NAC=NCA,所以AM=DN,所以EF=GH,所以CNF=NAC+
4、NCA=EF所以=1.2NAC.GH同理,CME=MAC+MCA=三、作垂线2MAC.例3如图3,正方形ABCD中,CE=MN,所以CME+CNF=2(MAC+MCE=35,那么ANM是()NAC)=2EAF=250=100.(A)45(B)55(C)65(D)7517数理化学习(初中版)解:如图3,过点N作NF1所以BE=HB.4BC于点F,则四边形NFCD为矩形.所以S11164BEG=SBGH==.4455所以NF=CD.五、将正方形的边所在的三角形绕顶点旋因为ABC=NF
5、M转90=90,CE=MN,BC=CD例5(第11届希=NF,望杯邀请赛试题)如图所以RtBECRtFMN(HL),5,正方形ABCD中,AB所以MNF=MCE=35.又ANF=90,=3,点E、F分别在BC、CD上,且BAE=30,所以ANM=ANF-MNF=90-DAF=15,求AEF35=55.故选(B).的面积.注:例3也可以按作平行线的方法做:过点B作BGMN交AD于点G;例2也解:如图5,将ADF绕点A顺时针旋转90得ABG,则ABGADF.可以按作垂线的方法做
6、:作EXBC于点所以AG=AF,BAG=DAF=15,X,作CYCD于点Y.四、若一点是正方形一边的中点,则常将正所以GAE=BAG+BAE=45.又FAE=90-BAE-DAF=45,方形的一顶点与中点连接起来并延长,与另一所以GAE=FAE,边的延长线相交所以GEAFEA(SAS),例4(2006年青少年数学国际城市邀所以EF=EG,AEF=AEG=90-BAE=60.请赛试题)如图4,正BE方形的边长为2,E、F在RtABE中,tanBAE=,AB分别为边AB、AD的中所以BE=ABt
7、anBAE=3tan30=1,点,G是CF上的一点,使得3CG=2GF.则BEG的面积是.所以CE=BC-BE=3-1.解:如图4,延长CF交BA的延长线于点H.在RtEFC中,CEF=180-AEF-因为D=HAF=90,DF=AF,CEAEG=60,cosCEF=,CFD=HFA,EF所以CDFHAF(ASA),CE3-1所以EF===2(3-所以CF=FH,CD=AH.cosCEFcos60因为CDFHAF,1)=EG.所以SBCH=S正ABCD=22=4.故S1AEF=SAEG=EG
8、AB2因为CF=FH,3CG=2GF,14=2(3-1)3=3-3.所以HG=CH,25注:例5也可以按添下列辅助线来做:延长44
