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1、第卷增刊电子科技大学学报年月旧】斯托克斯粘滞阻力公式的简化推导王肇庆‘苏惠惠成都科技大学应用物理系成都,但其【摘要】斯托克斯公式被各领城广泛应用理论推导却颇繁琐文中米用较简单的方法推导。出斯托克斯公式且给出清晰的物理图像及明确的物理意义关镇词拈滞流体斯托克斯公式小雷诺数中图分类号不可压缩流体在小雷诺数流动情况下所遵循的斯托克斯公式在分子物理学、胶体化学、气象、、,学采矿学环境科学等学科中被广泛地应用着何恿常书中给出该公式的理论推导却颇繁琐我们在长期教学中寻找出,,只用微积分等简单数学工具就可推出该公式的简单方法便于在教学中使用且此法还能给出
2、清晰的物理图像及明确的物理意义。不可压缩的粘滞流体在小雷诺数流动情况下的动力学方程由牛顿定律列出的粘滞流体动力学方程为图。一而决十彩,二石一冬粤尸一。,,这便是纳维一斯托克斯方程式中石为流体的流速尹为流体内的压强为流体密,度,为流体的粘滞系数,。,·若流体为稳定流动有痴〕又雷诺数小惯性力与粘滞力相比小即石石项与公’’’’’一’’’粤一一”一一’’‘一一一一一一一一一一”一一一”一,·,项的量值相比小忽略质性项石甲石得小雷诺数不可压缩流体稳定流动的动力学方程为尹,,石此方程又名蠕行方程其在直角坐标系下的分量式方程为”’“了鬓一‘吸子、‘︺了、
3、产、‘、一’”’”寄’巧一”窦不可压缩流体还应满足连续性方程·。甲由式、联立的偏微分方程组便是描述这种不可压缩的粘滞流体小雷诺数流动的动力学方程。,年月日收摘男岁大学副教授电子科技大学学报第卷。若研究一半径为的球在粘滞流体中的匀速直线运动可选择运动着的球为参考系,这样上面的问题可等价于从无穷远处来的流速为应的流体绕固定球的流动。求解该问题,选用与小球固接的球坐标系,坐标原点设在球心流体沿。图中方向流动球运动的动力学问题的相应边界条件为,。,,,,。时时,和不三式中,和为环境压强。蓄为妥方向的单位矢量图球坐标系下粘滞流体的速度,、,用简单方法
4、求解上述方程组得出压强流速芯将式两边求散度,且考虑到式,有甲尹即流体压强满足拉普拉斯方程,为调和函数由于流体的运动是关于轴对称的,故可设仪刃,,刃和犷扒十秘下,。,,式右边第项为环境压强第项为偶极子项显然式满足式式还满足时尹一·,。,,这里假定,中不含项是因为没有径向压力梯度否则流体将会有径向流动故式的假令设合理。,、,仪。,,,,。为求出流体的速度分布设一动一由于轴对称分布介由式知,。。,、,,。下面设法求出从而求出’及。,由直角坐标与球坐标的关系且借助于图有,’一仃一,,笋’一仃一誉、尸曰一万十,、,,,,、、,由于‘门于‘兽⋯五一,丢
5、以此代入式式式、再一并代入式气屯忿警“‘,有,一仃一妇叮,夕,假设和的形式为。’,,,动〔,‘,“,一,,〕令号子。’’夕,〔,,号,”‘令,‘,,”,‘,〕号夕一夕。,。式及式满足和故假设合理下面定出式用式中的诸系数。将式及式代入式,有增刊王肇庆等斯托克斯粘滞阻力公式的简化推导。“‘,。‘一,一〔子,十“三一‘”的‘号,〕二一〔“‘子‘一”,号,一又一,取白〕比较系数,得月、,一月刁若因此“‘‘,,,,一〔子,一‘,号,‘,号,。〔要三一,要三〕、,一‘几‘早了,一,〔一,三,,三飞一要普号‘了一。以下设法利用式定出上式中的系数月由偏微商
6、的运算易证“,·一,一,甲扩尸守一扩叹甲扩十甲一,尹二,一,一扩一‘一一扭二一矛价用护一,一护一尸一,,一’一’,一“用爪一,一甲一那一二甲妙、将式代入式,并将其结果与式一并代入式,有一,一,一那一笋警」等式两边比较系数,得一,一将,此代入式及式得·一,,〔会合号〕·一于〔一〕鬓音号将式及式代入式及式同样成立,不再赘述所以解流体中小球运动动力学间题的偏微分方程组边界间题的最后结果为’一〔一〕号号音号。〔,一一二二二场—寻子于号田夕加一万华目吮下‘斯托克斯公式的导出相对小球运动的流体对小球的作用力应为流体对小球的压力及流体枯滞性引起的摩擦。,
7、,。力’之和由于流体沿方向运动考虑对称性只在轴上投影不为零,,,一二一,。,。厂一队厂要掣粥撇记印‘汪电子科技大学学报第卷。,,二。,‘二卒目乙汀尤仔乙叮甲姐‘。。这里环境压强尹因抵消可不予考虑由于流体具有枯滞性所产生的摩擦阻力凡应与小球表面的切应力相联系,小球表面的切应力大小为、,、尸,社,、击,丁,冲气下乙一华后,二三丁三一不刀扫仁刀,一,了一一‘“因此「户,“产一铭口一尹气一不那仃少’义阅以翻一加,·、介闭一介华目小球在粘滞流体中运动所受的总阻力凡介华目这便是斯托克斯公式。此公式适用于雷诺数小于的情况。参考文献特,年里顿物理流休力学北
8、京科学出版社朗送二,策弗席茨,万匕,,庄礼贤译流休祥言徐燕侯力学北京高等教育出版社恒,茸敏彦理论物理墓础系列教程北京北京师范大学出版社加汰乙讯山,”丫笼明月钾心如苗网幼。司扣初劝
