求隐函数偏导数的几种方法.pdf

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1、第27卷第5期贵州大学学报(自然科学版)V0l_27No.52010年1O月JournalofGuizhouUniversity(NaturalSciences)0ct.2010文章编号1000—5269(2010)05—0007—04求隐函数偏导数的几种方法雷安平(贵州轻工职业技术学院,贵州贵阳550003)摘要:本文讨论了一元隐函数、多元隐函数的存在条件及相关结论,给出隐函数求偏导数的直接法、公式法和全微分法等方法和相应的实例。关键词:隐函数;偏导数;方法中图分类号:0172.1文献标识码:A隐函数求偏导数是数学分析重要内容之一,它(1)F(x,:,⋯,:,yO)=0;在数学的

2、很多分支有广泛的应用(如数学物理方(2)在闭长方体D={(,,,)II,,一yOI≤b,l程,微分方程等).利用它可以求平面曲线、空间曲一I≤口,i=1,2,⋯,n}j二,函数F(l,2,⋯,线的切线和曲面的切平面等.数学分析中只给出隐,Y)连续,且具有连续偏导数,,i=1,2,⋯,函数求偏导数的直接法和公式法,本文总结几种常/I,;用的隐函数求偏导数方法,便于隐函数求偏导数时(3)(,2,⋯,,,,)≠0,的应用.那么1隐函数存在定理](i)在点(,:,⋯,:)附近可以从函数方程定理1若二元函数F(x,Y)满足条件F(1,2,⋯,,Y)=0(1)F(0,Yo)=0;惟一确定隐函数

3、(2)在闭矩形D={(,Y)lJ一。I≤口,lY=。,:,⋯,),(,,⋯,0)∈0((,Y—YoI≤b}上,F(x,y)连续,且具有连续偏导数:,⋯,0),P)F

4、,F;它满足F(x1,2,⋯,1,2,⋯,));0,(3)x。,Yo)≠0,以及yO=,,⋯,0);那么(ii)隐函数Y=,:,⋯,)在(i)在点(。,),o)附近可以从函数方程(?,:,⋯,:)∈D((,,⋯,),p)上连续;F(y)=0,(iii)隐函数Y=,,:,⋯,)在惟一确定隐函数(,:,⋯,:)∈D((,:,⋯,:),p)上具有连续Y=),∈O(xop),的偏导数,且它满足F(x))=0,以及Yo=);Ox

5、i一(ii)隐函数Y=,()在∈O(x0,JD)上连续;畿(1,2,⋯,,),)’‘1’2,’⋯“(iii)隐函数Y=)在EO(x。,p)上具有方程组确定的隐函数存在定理连续的导数,且定理3若函数G(,y,,口)=0和F(x,Y,,)=d(,Y)0满足条件(,),)‘(1)F(xo,Yo,u0,)=0,G(0,Yo,/.L0,0)=多元隐函数存在定理0;定理2若n+1元函数F(x,,¨-,,Y)满足条(2)在闭长方体D={(,Y,,t,)Il一l≤件口,I一),oI≤b,IⅡ一l≤c,l一I≤d}上,收稿日期:2010—06—30作者简介:雷安平(1970一),女,贵州黄平人,讲师

6、,从事高等数学教学工作,Email:jk3289@sina.com.通讯作者:雷安平。Email::jk3289@sina.COIl1.·8·贵州大学学报(自然科学版)第27卷函数F,G连续,且具有连续偏导数;(一),,(3)在(o,Y0,u0,/3O),Jacobi行列式一(—1)‘.,==l≠0'2.2公式法那么把确定的一元隐函数的方程写成F(,Y)=0(i)在点(,Yo,。,V0)的附近可以从函数方的形式后,分别把,,,看成单独变量,从一元隐函程组数方程中求出(,Y)和(,Y),再由定理1的rF(,Y,u,)=0,结论,来求该一元隐函数的导数,即有公式LC(,Y,,)=0.空

7、:一一.‘(1)唯一确定向量值隐函数例2设In可=arctan上,求.(。。,解令F(,,,)=n(戈+,,2)一aLrctan÷,则它满足rF(x,Y,Y),g(x,Y)=0,【G(,Yy,,,),g(x,Y))=0.±#+Y’及=0=0,Yo),口0g(x0,yo);(ii)这个向量值隐函数在(,y)∈=。D((o,Yo),p)上连续;南一南埒(iii)这个向量值隐函数在(,y)∈利用公式(1),有D((,yo),p)上具有连续的导数,且一=一一=———dxFy一y’2.3微商法IL薹vl-,[一把一元隐函数F(x,Y)=0中变量,Y看成单3x3yJ等独变量,对确定一元隐函数方

8、程F(x,Y)=0的两求隐函数偏导数的常用方法边同时对求x,y微分,再根据函数的微分与函数的2一元隐函数导数的关系,来求该一元隐函数的导数.2.1显化法例3设+ln(一考)=0,求),·把一元隐函数F(,Y)=0化为显函数Y=),()后,再利用显函数求导的方法,来求该一元隐解对方程。+In(,,一考)=0两边同时求微分得函数的导数,即耋==y2+一l[d()一d(詈)】=0,y例1设+In(xy一考)o,求y·一解原方程可化为+主(+~ay1+)=一In(xy一考),

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