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1、第12卷第3期重庆教育学院学报Vol.12No.31999年9月JournalofChongqingCollegeofEducationSept.1999文章编号:1008-6390(1999)03-0005-05母函数方法及其简单应用陈志国(重庆教育学院数学系,重庆400067)摘要:本文介绍母函数方法,并举例说明它的简单应用。关键词:母函数;方法;应用中图分类号:O174文献标识码:A利用数学对象之间的某种对应关系来研究和处理数学问题是一种重要的数学方法。有的数学问题本身难于处理,但如果能建立某种对应关系,往往能使问题发生转化,并使其化难为易或化繁为简,进而使问题得
2、以顺利解决。本文所介绍的母函数方法就是解决一些数学问题的有效方法。定义1对任意的实数序列{an}:a1,a2,⋯,an,⋯(1)2n称形式幂级数A(x)=a0+a1x+a2x+⋯+anx+⋯(2)为(1)的母函数(或发生函数)。序列(1)叫做母函数(2)的生成序列。所谓形式幂级数,是指在一般情况下,把幂级数(2)整个地看作一个数学对象。其中x只是一个文字符号(一种形式变元),并不需要给它赋值,从而在使用形式幂级数时也勿需考虑其敛散性。母函数方法,就是在序列的集合与形式幂级数的集合之间建立一个一一对应、把序列间相互结合关系对应成为相应幂级数间的运算关系,并由作为运算结果的
3、形式幂级数确定序列的结构。简单地说,就是将难于处理的序列问题转化为相应的形式幂级数(母函数)来处理,使所论的序列问题较为容易地解决。用母函数方法解决序列的有关问题,往往需要进行母函数(形式幂级数)的运算。因此,对形式幂级数的运算必须加以规定。设M是全体形式幂级数的集合。∞∞nn定义2若A(x)=∑anx、B(x)=∑bnx∈M,则当且仅当an=bn(n=0,1,2,⋯)时,n=0n=0A(x)=B(x)(3)由定义1、2易知,全体形式幂级数的集合与相应的生成序列集合之间存在着一一对应关系。收稿日期:1998-12-23·5·∞∞nn定义3若α∈R,A(x)=∑anx∈M
4、,则αA(x)=∑αanx叫做α与A(x)的数乘积。n=0n=0∞∞∞nnn定义4对任意的A(x)=∑anx、B(x)=∑bnx∈M,称A(x)+B(x)=∑(an+bn)xn=0n=0n=0∞∞n为A(x)与B(x)的和;A(x)·B(x)=∑(∑akbn-k)x叫做A(x)与B(x)的积。n=0k=0容易证明,集M对于定义的加法和乘法构成一个交换环。它对于所定义的加法和乘法当然是封闭的。∞n集M中的元∑0·x称为M的零元,记作0.n=0∞∞nn对任意的A(x)=∑anx∈M,都存在-A(x)=∑(-an)x∈M,-A(x)称为A(x)在Mn=0n=0中的负元。∞∞n
5、n定义5对任意的A(x)=∑anx、B(x)=∑bnx∈M,A(x)-B(x)=A(x)+〔-B(x)〕n=0n=0∞n=∑(an-bn)x叫做A(x)减去B(x)的差。特别地,当A(x)=B(x)时,A(x)-B(x)=0.显n=0然,M对于所定义的减法是封闭的.∞nM中的元∑anx(a0=1,ak=0,k=1,2,⋯)叫做M的单位元,记作1.对于任意的A(x)n=0∈M,都有1·A(x)=A(x)·1=A(x).又若A(x)、B(x)∈M且A(x)≠0,B(x)≠0,则有A(x)·B(x)≠0,则M无零因子。综上所述,M是一个整环。令U=M-{0},由近世代数可知,
6、M关于其非零因子子集U的分式环是一个域,称为M的商域,记为MŠ。对于任意的A(x)∈M,只要a0≠0,从而A(x)≠0,则A(x)在MŠ内有逆元∞n1A(x)=∑anx存在,使A(x)·A(x)=A(x)·A(x)=1(或A(x)=).可以证明,A(x)中n=0A(x)-1系数an(n=0,1,2,⋯)由下式确定:a0=a0,a1a2⋯an-2an-1ana0a1⋯an-3an-2an-1n-n-10a0⋯an-4an-3an-2an=(-1)a0⋯⋯⋯⋯⋯⋯00⋯a0a1a200⋯0a0a1∞∞nnA(x)定义6对于任意的A(x)=∑anx,B(x)=∑bnx∈MŠ,
7、且b0≠0,称=A(x)·n=0n=0B(x)B(x)为A(x)除以B(x)的商。显然MŠ对于所定义的除法是封闭的。∞n此外,还可定义A(x)=∑anx的形式导数。n=0∞n-1n定义7对任意的A(x)∈M,DA(x)=∑nanx叫做A(x)的形式导数。DA(x)=Dn=0n-10〔DA(x)〕叫做A(x)的n阶形式导数。特别地,规定DA(x)=A(x).其中D是形式微分n算符,D是n阶微分算符。以上定义的形式幂级数的四则运算和微分运算法则与数学分析中收敛幂级数的相应运算法则完全一致。若需对形式幂级数进行上述运算时,一般勿须考虑幂级数是否
