用压缩映射原理证明常系数线性常微分方程组解的存在性与唯一性定理.pdf

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1、第I6卷第3期武Vol.16No.3汉教育学院学报o.7在6JurnalofWuhanInstituteofEdueationJun1997l,,月用压缩映射原理证明常系数线性常微分方程组解的存在性与唯一性定理O张立全O为,摘要了证明高阶常系数线性常徽分方程组解的存在性与唯一性定理首先把它,,化为一阶常系数线性常徽分方程组又把一阶方程组化为积分方程组再利用压缩映射原理,证明积分方程组有且只有一组解.关键词解的存在性与唯一性压缩映射原理,,,,,.u,uZu3uNx设未知函数为⋯自变量为:一般常系数线性常微分方程组柯西问题提法如下.d一d与一XU一nd一d

2、‘U一Ju:,uZ,,u,ix、,,,,nJ、(⋯N⋯)+f()其中ij=12⋯Nk

3、瓜一日反下于是有vd~;-~aV一卜OV十I气X)=aXud~v而(l)v(x。)a;=u(x。)a。=x。,a。,al还可以认为=o=o一。,xx、,,x,,事实上引进新的白变量t一一当一x(时有t一。y,val令一一yZ=u一ao:方程组(1)转化如下:收稿日期1997一03一20:第3期张立全用压缩映射原理证明常系数线性常微分方程组解的存在性与唯一性定理29y,yZtX。一+b+一+b一+“+,瓮一‘“‘’+杂y,yZ(O)~(0)=0现在证明一阶常系数线性常微分方程组的柯西问题为真命题.如果此问题得证,即前面所提问题的解存在并且是唯一的.:设一阶

4、常系数线性常微分方程组的柯西问题为sdyaijy」i(t),,艺+f2⋯Ndt(2);{y(O)一O:把方程组(2)转化为积分方程组考虑it·、」,tt;tt,,y()一y()d+f()di一12N典丁;丁;一-。使得alt1rpt一:.日任万。,1)一万「e‘,,,。‘,[一aa]表示在仁一aa〕有一阶连续导数之所有函数集[一a叼为完备的度量空间,Z,,n,,任意取一组函数y(t),y(t)⋯y(t)任c’〔一占a〕代入积分方程组右端得到一组新,‘,c函数亦属于[一a剑cl[一a,a〕中一切N个函数组构成N维函数向量空间,记为X,X也为完备度量空间.,

5、:设T为积分方程组右端结构构成的映射显然TX~X设ylylV{{!:{Y一‘一资二任‘⋯扑⋯⋯LyN)LyN)·N义;T(Y,一T(Y,一一()dt(套{;)一‘,dt2镇,‘P(T(Y)T(Y))=1llaX()t一{⋯e[一占占〕鑫言一·2(”dt镇a‘jZ们naX〔习(习)〕〔丁;〕一七(t吕(鑫一a;」2·,」’““nlaX艺(艺)y(入)一y(‘)jt(根据积分中值定理)一己蕊t成8艺〔,」,·(·、ap(··)-。p(一一t簇}}了睿一,’,‘,厕:’P(T(Y)T(Y))毛eP(YY)O簇e

6、,_,_.,___,____,__~~~‘~_一}yZI二__,,压一,’射‘一”_’‘入甲一“‘一兀,‘一⋯’便“1’(‘’一‘⋯⋯tyNJ积分方程组有且只有一组解,.(2)在。‘方程组〔一a司中有且只有一组函数(个数为N)满足它参考文献H,r.彼得罗夫斯基著.偏微分方程讲义.北京:高等教育出版社,1959..,:薛昌兴编实变函数与泛函分析北京高等教育出版社1993ProvingtheResolutionExisteneeandUniquenssTheoryofLinearDifferentialEquationwithConstantCoeffiei

7、entbyUsingContraetionMappingTheoryZhangLiquanAtractToproveresolutionexisteeanduniquenesstheoryofhigherorderlineardifferential卜bsncquatonteonstanteeent,t5rsttoeantntoorernearrentiae-i初hoeftiii1fih罗iidlidiffelquationgroupwiteonsnteoeeent,anseeontoeangeteorerequatonhtaffiiddlyhhdigr

8、oupintointegraequatongroup,atenproveteor