资源描述：
《用_五点法_确定三角函数图象的解析式.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、·34·中学数学月刊2010年第12期用“五点法”确定三角函数图象的解析式陶冶(江苏省常熟中学215500)陈新(江苏省常熟市中学215500)在三角函数图象的教学中,有一类由图象确定π11ππ(k∈Z),φ=2kπ-,且0<φ<,因此φ=解析式的问题经常困扰着学生.其实借助三角函数的262“五点法”作图中的五个点,可以解决这类问题.π,故f(x)=2sin(2x+π),x∈R.661例说“五点法”的妙用“五点法”由周期和图象上的一个最低点为2例1设函数f(x)=3cosωx+sinωxcosωx+2π2π3π2πM(,-2),可知x=对应
2、着,因此2×+φa(其中ω>0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的3323第一个最高点的横坐标为π,求ω的值.3πππ6=2,故φ=6.故f(x)=2sin(2x+6),x∈R.31说明题目提供了最低点的坐标.如果不是指解f(x)=(1+cos2ωx)+sin2ωx+a22定范围的值,可以加周期kπ(k∈Z)调节(因为对应133点可能不是在第一个周期上).所以,两种解法本质=sin2ωx+cos2ωx+a+222上是一致的,但“五点法”更为简捷.π3例3(2009·辽宁)已知函数f(x)=Acos(ωx=sin2ωx++a+.32π2+
3、φ)的图象如图1所示,f=-,则f(0)=因为f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点23的横坐标为π,这个最高点应该对应y=sinx某周().622期上的最高点.(A)-3(B)3由“五点法”可知,x=π对应着π+2kπ,k∈1162(C)-(D)22πππ1解由图中x轴上的图1Z,故2ω×+=+2kπ,所以ω=+6k.由6322Tπ2π两个交点的横坐标可知=,T=,ω=3,得1233ω>0,知ω=+6k,k=0,1,2,…27πf(x)=Acos(3x+φ).再由“五点法”可知,0对说明本题提供了最高点的横坐标.12例2已知函数f(x)=
4、Asin(ωx+φ),x∈3π7π应着余弦函数图象上的点,0.由3×+φ=π212R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的23πππ222,得φ=-.再由f=-,得A=.从π24233交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一222π2π而得f(x)=cos3x-,因此f(0)=个最低点为M(,-2).求f(x)的解析式.34322π22πcos-=.解由最低点是M(,-2),可得A=2.由x3433说明本题图象上提供了3个点的坐标,其中ππT轴上相邻两个交点之间的距离为2,可知2=2,两个是x轴上相邻的平衡点的坐标.本题的解决步
5、2π11π即T=π,故ω==2.下面我们用传统法和“五点骤是:T※ω※φ※A※f(0).由12,0对应着余T法”来求φ的值.(并把传统方法与“五点法”比较)弦函数图象上的点5π,0同样可得.22π传统法由M(3,-2)在图象上,得2sin(2×在做选择题或填空题时,在推导的严格性要求不是很高的情况下,用“五点法”解题简便、正确率2π4π4π+φ)=-2,即sin(+φ)=-1,+φ=2kπ-333高.例4如图2是函数y=Asin(ωx+φ)+k在一2010年第12期中学数学月刊·35·个周期内的图象,那么这个函数的解析式为().π4π故ω=
6、2.又2·+φ=π,故φ=.所以y=xπ105(A)y=2sin+-1264πsin2x++1.π5(B)y=2sin2x+-16说明本题提供了π函数一个周期的非常规图(C)y=3sin2x+-13象.把图象上的两个关键(D)y=3sin2x+π-1点看作前一个周期中第三6点和第四点的坐标.解析由选择支提总之,当图象提供了供的信息可知,平衡位置最高点、最低点或者平衡图4在直线y=-1上.因此点的条件时,就能用“五点法”求出基本量,从而解可得三个平衡点的坐标得解析式.在处理这类图象变换问题时,准确把握式π-,-1,中y=Asin(ωx+φ)的
7、基本量A,ω,φ的意义和作用6π5π图2是关键,正确运用“五点法”作图是基础.,-1,,-1,362“五点法”的拓展思考从而得周期为π,故ω=2.正弦函数的“五点法”作图原理也能拓展到正7π切函数的图象问题.选取正切函数y=tanx在又可得最低点坐标为,-4,因此A=3.12πππ-,上的图象的渐近线x=-、中心(0,0)、7π3ππ222由x=,2x+φ=,得φ=.故选C.1223π渐近线x=,借用“五点法”的思想可解决正切函说明本题图象提供了相邻的三个平衡点的2位置.数的同类问题.例5(2009·海南)已知函数y=sin(ωx+例7已知
8、函数y=tan(ωx+φ)(-π<φ<π)φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图3所示,则φ=的图象如图5,则ω=,φ=..解析渐近线x=解析第一步,由π5π-和x=分别对应于3
