线性方程组练习题.pdf

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1、线性方程组练习题§1向量的线性关系1．判断下列向量组是否线性无关：41242011202（1）1，4，1；（2）10，，，。52018301172．讨论下面向量组的线性相关性：10112a2，1，4。25b1111113．设a11，a12，a1

2、3。13t（1）问当t为何值时，a,a,a线性相关？123（2）问当t为何值时，a,a,a线性无关？123（3）当a1,a2,a3线性相关时，问a3是否可以由a1，a2线性表示？若能，写出具体表达式。4．设有向量组1t23412t34a，a，a，a。112233t441234t问：（1）当t为何值时，a1,a2,a3,a4线性相关？（2）当t为何值时，a1,a2,a3,a4线性无关？5．设a1,a2,a3

3、线性无关，问当参数l，m满足何种关系时，la2a1，ma3a2，aa也线性无关？136．设a,a,,a线性无关，作12mb1a1a2，b2a2a3，…，bm1am1am，bmama1。判别b,b,,b的线性相关性。12m7．设a,a线性无关，ab,ab线性相关，问b能否由a,a线性表示？1212128．设a,a,a线性相关，a,a,a线性无关。问：123234（1）a能否由a,a线性表示；123（2）a4能否由a1,a2,a3线性表示。2TTTT9．若b(0,k,k)能由a1(1k,1,1)，a2(1,1k,1)

4、，a3(1,1,1k)唯一地线性表示，求k。10．已知两个n维向量组a,a,,a和b,b,,b。证明：若存在两组不12m12m全为零的数,,,和,,,使得12m12m()a()a()a111222mmm()b()b()b0,111222mmm则ab,ab,,ab,ab,ab,,ab线性相关。1122mm1122mm11．设a,a,,a是n维向量组，A是mn矩阵。证明：若a,a,,a线12m12m性相关，则Aa,Aa,,Aa也线性相关。12m12．已知向量

5、b可由a,a,,a线性表示，但不能被a,a,,a线性表12m12m1示。证明：a不能被a,a,,a线性表示，但能被a,a,,a,b线性m12m112m1表示。13．设a,a,,a是n个n维向量，证明：a,a,,a线性无关的充分必12n12n要条件是任何n维向量都可以被它们线性表示。14．设有向量组a,a,,a，其中任意m1个向量都线性无关。证明：等式12mxaxaxa01122mm中的系数x,x,,x或者全为零，或者全不为0。12m15．证明：线性方程组a11x1a12x2a1nxnb1,a21x1a22

6、x2a2nxnb2,axaxaxbn11n22nnnn对于任何b,b,,b都有解的充分必要条件是其系数行列式不等于0。12n16．设A为mn矩阵，B为np矩阵。若ABC，且矩阵C的行向量线性无关，证明A的行向量也线性无关。17．设a1,a2,,am都是非零向量。证明：若每个aj（1jm）都不能由a1,a2,,aj1线性表示，则a1,a2,,am线性无关。18．设a,a,,a是线性方程组Ax0的r个线性无关的解。而向量b不是该12r方程的解，即Ab0。证明：向量组b,ba,ba,,ba线性无

7、关。12r19．证明：n个n维列向量a1,a2,,an线性无关的充分必要条件是：TTTaaaaaa11121nTTTaaaaaa21222n0。TTTaaaaaan1n2nn§2秩1．求下列矩阵的秩：0an21112123110an11041（1）3156；（2）；（3）。114565212310a221561a112112．设矩阵20t0的秩为2，求t。04523．判定下述向量组是否线性相关：34

8、121014