柯西收敛准则的3种不同证法.doc

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1、柯西收敛准则的不同证法方法一:用定理2证明柯西收敛准则证明：必要性:易知，当{an}有极限时(设极限为a)，{an}一定是一个柯西数列。因为对任意的ε>0，总存在N(N为正整数)。使得当n，m>N时，有

2、an-a

3、<ε，

4、am-a

5、<ε∴

6、an-am

7、

8、an-a

9、+

10、am-a

11、<ε，即{an}是一个柯西数列。充分性:先证明柯西数列{an}是有界的。不妨取ε=1，因{an}是柯西数列，所以存在某个正整数N0，当n>N0时有

12、an–aNo+1

13、<1，亦即当n，N>N0时

14、an

15、

16、aNo+1

17、+1即{an}有界。不妨设{

18、an}[a，b]，即aanb，我们可用如下方法取得{an}的一个单调子列{ank}：(1)取{ank}{an}使[a，ank]或[ank，b]中含有无穷多的{an}的项；(2)在[a，ank]或[ank，b]中取得ank+1{an}且满足条件(1)并使nk+1>nk；(3)取项时方向一致，即要么由a→b要么由b→a。由数列{an}的性质可知以下三点可以做到，这样取出一个数列{ank}{an}且{ank}是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明{an}收敛于a。因为ank=a,则对ε>0，正整数K，当k>K时

19、

20、ank-a

21、<。另一方面由于{ank}是柯西数列，所以存在正整数N，使得当n，m>N时有

22、an–am

23、<，取n0=max(k+1，N+1)，有n0nN+1>N以及>k+1>k。所以当n>N时

24、an-a

25、

26、an–am

27、+

28、am-a

29、<ε。∴{an}收敛于a。方法二:用定理3证明柯西收敛准证证明：必要性显然。下证充分性。设{xn}是柯西数列，即对任意的ε>0，存在N>0，使得当n，m>N时，有

30、xn–xm

31、<ε(1)令yn=sup{xn+p

32、p=1，2，…}zn=inf{xn+p

33、p=1，2，…}显然，yn是单调递减

34、数列，zn是单调递增数列。取M=max{x1，x2，…，xN,xN+1}。由(1)，不难知xnM，n=1，2，…。于是，yn和zn都是有界数列。根据单调有界原理，yn和zn都是收敛数列。不妨设yn→a　　　zn→b　　　n→∞(2)由yn和zn的构造以及(1)，我们有znxnyn　　　n=1，2，…(3)yn-zn<ε　　　n>N(4)于是由(4)，有a-bε，而ε是任意正数，因此a=b(5)最后，根据(2)，(3)和(5)，我们有xn→a(n→∞)。这就完成了证明。方法三:用定理4证明柯西收敛准则证明：必要性是显

35、然的。下面只证充分性。根据条件，对ε=1，存在n0，当n，m>n0时，有

36、xn–xm

37、<1。于是

38、xn

39、

40、xn–xn0+1

41、+

42、xn0+1

43、<1+

44、xn0+1

45、。令M=max{

46、x1

47、，x2,…，

48、xn0

49、，1+

50、xn0+1

51、}，则

52、xn

53、M(n=1，2，…)，故{xn}有界。因此存在收敛子列{xnk}，设xnk=C，于是由下列不等式

54、xn-C

55、

56、xn-xnk

57、+

58、xnk-C

59、可知xn=C。