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《梯度、散度、旋度的关系.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、梯度gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也
2、就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k记为grad[f(x,y,z)] 梯度的汉语词义，用法。 《现代汉语词典》附：新词新义 梯度1.坡度。 2.单位时间或单位距离内某
3、种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。 4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。散度散度（divergence）的概念： 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作divF 由散度的定义可知，divF表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以divF描述了通量源的密度。 divF=▽·F 气象学： 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动
4、中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x.y,z)j+R(x,y,z)k给出，其中P、Q、R具有一阶连续偏导数，Σ是场内一有向曲面，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量，则∫∫A·ndS叫做向量场A通过曲面Σ向着指定侧的通量，而δP/δx+δQ/δy+δR/δz叫做向量场A的散度，记作divA，即divA=δP/δx+δQ/δy+δR/δz
5、。 上述式子中的δ为偏微分（partialderivative）符号。 散度（divergence）的运算法则： div(αA+βB)=αdivA+βdivB(α,β为常数) div(uA)=udivA+Agradu(u为数性函数)旋度设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为 δR/δy-δQ/δz，δP/δz-δR/δx，δQ/δx-δP/δy 的向量叫做向量场A的旋度，记作rotA或curlA，即 rotA=(δR/δy-δQ/δz)i+(δP/δz-δR/δx)j+(δQ/δx-δP/
6、δy)k 式中的δ为偏微分（partialderivative）符号。 行列式记号 旋度rotA的表达式可以用行列式记号形式表示： 若A=Ax·i+Ay·j， 则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若A=Ax·i+Ay·j+Az·k 则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 为一向量。向量场A，数量场u▽称为汉密尔顿算子，算法不表示了，符号打不出来。▽·▽=▽2=△，△称为拉普拉斯算子。梯度▽u散度▽·A旋度▽×A首先梯度和旋度是向量场，而散度是标量。梯度针对一个数量场（势场），
7、衡量一个数量场的变化方向。梯度为0说明该势场是个等势场。散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。散度为0说明这个场没有源头。旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为0说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。三者的关系：注意各自针对的对象不同。1.梯度的旋度▽×▽u=0梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场。例如重力场。2.梯度的散度▽2u=△u3.散度的梯度▽(▽·A)4.旋度的散度▽·(▽×A)=0旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。例
