模n的剩余类环的子环.doc

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1、模的剩余类环的子环作者：***指导老师：***摘要：模剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证，剩余类环对Euler函数关系式、Eisemstein判别法、整数多项式无整数根、Euler定理及Fermat小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.关键字：模剩余类环的子环幂等元理想1引言环是有两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统，因此它的许多基本概念与理论是群的相应内容的推广，同时环也有一些特殊的问题，例如因子分解问题等.2模的剩余类环的

2、子环的性质和运用2.1基本概念定义2.1.1任取正整数,令则为个剩余类的集合，对任意，规定，，则关于这两个运算做成一个环,且是一个具有单位元的交换环,称之为以为模的剩余类环,或简称模剩余类环.定义2.1.2对任意,若类中有一个整数与互素,则这个类中所有整数均同互素,因此称类与互素.定义2.1.3称环的一个非空子集叫做的一个理想子环,假如:(i),(ii),在代数运算中,我们都知道若,,则必有,相反若,则必有或成立,而在环中是否还存在这样的运算性质呢?我们有：定义2.1.4模剩余环中,如果任意元,,但,那么称为的一个左零因子,为的一个

3、右零因子,若的左零因子与右零因子都为,称为的零因子.定义2.1.5一个环中若有元素使得,有,那么称元素叫做环的单位元，记作1.定义2.1.6在环中,如果,满足:任意,有,则称是中的逆元，且与互逆.定义2.1.7设为任意一个环,而是的理想.那么称作关于理想的剩余类环(也叫商环或差环),其中中,每个元素叫作模的剩余类.定义2.1.8模剩余环的乘法群(当为素数,中的所有非零元作成乘法群,当为合数,中的所有可逆元作成乘法群)中,适合的元素称为环的一个幂等元.定义2.1.9设,若存在使得,则称整除,记为,称为的因数,而称为的倍数.否则,称不整

4、除.2.2剩余类环的基本性质定理2.2.1在模剩余环中,若,则有.定理2.2.2在中,每个元素的倍均为零.即.定理2.2.3设,则的充要条件为.2.3剩余类环的一般性质利用已有的定义和基本性质,可以得出模剩余环的更一般的一些性质.①　模剩余环是交换环.②　在模剩余环中,所有左右零因子都是其零因子.①　模剩余环是无零因子环的充分必要条件是为素数.②　设为无零因子环(模大于1),那么加群中每一个非零元素的阶必相同.③　模剩余环为整环的充分必要条件是为素数.④　对于,(1)是特征为的有单位元的可换环;(2)环是域为素数.⑤　模剩余类环的所

5、有子群(对加法)是循环子群.例：设,若,,则.证明:因为,故,从而有整数使,如果,则由上式可知,是与的一个公因数,这与矛盾.因此.2.4群与其子群有相同的单位元，环与其子环有相同的零元，但子环不一定有单位元.例如是的子环，无单位元，而且子环即使有单位元，单位元也不一定与环的单位元相同，与都是的子环，但的单位元是，的单位元是，它们都与的单位元不同.2.5是素数的充要条件是模的剩余类环是域.它的每个非零元都是可逆元，全体非零元关于环的乘法组成一个阶的群.由域是整环以及易证：当是素数时，（）是整数环的素理想，也是整数环的极大理想，事实上，

6、有是含幺交换环，的理想（)是素理想是整环是素数，由是含幺交换环，的理想（)是极大理想是域为素数.另外，由域的特征数是素数且是一个素数.任意一个素域的特征数或者为0或者为素数，当为0时，，当为素数时，.3的子环、域、零环3.1定义设是正整数，是素数，是模的剩余类环，是的子环.我们将得到如下结果：（1）设，，则是有零因子无单位元的环；（2）设，当，则是域，当时，是零环.（3）设，，则是有零因子无单位元的环.3.2命题证明命题3.2.1当，其中是素数时，则的阶子环是含零因子无单位元的环.证明的阶子环，（1)当时，，则，所以是无单位元的零元

7、.（2)当时，取，，，是有零因子的环下证是无单位元的环设有单位元，，，有，即,得到取，则因为所以而不整除故故不是整数，无单位元.命题3.2.2若，是素数，是大于1的正整数，当时.的阶子环是域；且；当时，的阶子环是零环.证明的阶子环（1）当时，所以是零环.（2）当时，若，只要时，，所以有，即是无零因子环，又有限，所以是域.设是的单位元，则，有即，取，得.因为为整数，只要适当选取使为整数，即可求得单位元.命题3.2.3设，其中是合数，，则的阶子环是含零因子的无单位元的环.证明因是合数，设，的阶子环，取，，则，故含有零因子.设有单位元，,

8、有，即，（1)设时，在取，，如有整数解，即整数方程中有整数解，所以方程有整数解的充要条件为，与假设矛盾，所以无单位元.（2）设，在式中取，，，有整数解即为整系数方程有整数解，有整数解的充要条件是：.因，故不整除与假设矛盾，故无单位元.