福师12秋《初等数论》练习题.doc

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1、福师12秋《初等数论》练习题注：本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。一、填空1、的个位数为解析：本题考核的知识点为同余2、求所有正约数的和等于15的最小正数为解析：本题考核的知识点为约数3、模13的绝对值最小的完全剩余系为解析：本题考核的知识点为完全剩余系4、若是模11的一个完全剩余系，则也是模11的剩余系。解析：本题考核的知识点为完全剩余系5、个整数形成模的简化剩余系的充要条件是：解析：本题考核的知识点为简化剩余系6、求不定方程组:的正整数解为解析：本题考核的知识点为不定方程组7.不定方程的满足的一切整数解可表为解

2、析：本题考核的知识点为不定方程的整数解8.2160的正约数的个数为解析：本题考核的知识点为约数9.设是一个大于1的整数，,若是的一个简化剩余系，则也是模的剩余系。解析：本题考核的知识点为简化剩余系10.模7的非负最小完全剩余系为解析：本题考核的知识点为完全剩余系11.自279到577的整数中是17倍数的整数个数为解析：本题考核的知识点为倍数12.叙述欧拉定理：解析：本题考核的知识点为欧拉定理13.的标准分解式中中素数7的指数为解析：本题考核的知识点为标准分解式14、不定方程的的全部整数解为解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解15．模13的互素剩余系为　解

3、析：本题考核的知识点为互素剩余系二、解析：本题考核的知识点为整除.提示：且　　　　　　　　　由知　　　或　　　若由知　　　若由知　　　如果那么且三、（若(a,b)=1，则(a-b,a+b)=1或2解析：本题考核的知识点为最大公约数.提示：设(a-b,a+b)=d，则d

4、a-b,d

5、a+b，根据条件得出d=1或d=2四、试证：6

6、n(n+1)(2n+1)，这里n是任意整数。解析：本题考核的知识点为整除.提示：∵n∈N∴2

7、n(n+1)(2n+1)，再证明3

8、n(n+1)(2n+1)五、求证是模７的一个完全剩余系解析：本题考核的知识点为完全剩余系提示“模7的一个

9、完全剩余系是{0，1，2，3，4，5，6},{-3,-2,7,9,13,17,22}={7，22，9，17，－3，－2，13}≡{0，1，2，3，4，5，6}（nod7）得证六、假定是任意整数，求证或解析：本题考核的知识点为同余.提示:要证明原式成立，只须证明，或者成立即可七、设为正整数，，证明：解析：本题考核的知识点为欧拉定理提示：同理证得八、设p是不小于5的素数，试证明解析：本题考核的知识点为同余的性质，提示：且是不小于5的素数．　　　　　　　　　　又且是不小于5的素数．得出结论九、解同余式组解析：本题考核的知识点为同余式组的解法提示∵(14，8)=2且

10、2

11、2∴14x≡2(mod8)有且仅有二个解解7x≡1(mod4)⇒x≡-1(mod4)∴14x≡2(mod8)的解为x≡-1，-1+4(mod8)原同余式组同解于　　或再分别求解。十、解不定方程解析：本题考核的知识点为多元一次不定方程；提示：原不定方程有解且可化为，分别求解十一、若且为素数，则解析：本题考核的知识点为威尔逊定理提示：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　然后利用威尔逊定理证明十二、若,则解析：本题考核的知识点为整除提示：　　　　　　　　　　　　　　　　根据条件推出结论