线性与非线性.doc

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1、线性与非线性非线性是相对于线性而言的,是对线性的否定,线性是非线性的特例,所以要弄清非线性的概念,明确什么是非线性,首先必须明确什么是线性,其次对非线性的界定必须从数学表述和物理意义两个方面阐述,才能较完整地理解非线性的概念。(1)线性对线性的界定,一般是从相互关联的两个角度来进行的:其一,叠加原理成立:“如果ψl,ψ2是方程的两个解,那么aψl+bψ2也是它的一个解,换言之,两个态的叠加仍然是一个态。”[1]叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。其二,物理变量间的函数关系是直线,变量间的变化率是恒量,这意味着函数的斜率在其定义域内

2、处处存在且相等,变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。(2)非线性在明确了线性的含义后,相应地非线性概念就易于界定:其—,“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L(aφ+bψ)=aL(φ)+bL(ψ)的算符”[2],即叠加原理不成立,这意味着φ与ψ间存在着耦合,对(aφ+bψ)的操作,等于分别对φ和ψ操作外,再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的操作,或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。其二,作为等价的另—种表述,我们可以从另一个角度来理解非线性:在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中,一个系统的—个变量最初的变

3、化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的,换言之,变量间的变化率不是恒量,函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方,概括地说,就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说,这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现,也是非线性系统复杂性的根源。对非线性概念的这两种表述实际上是等价的,其—叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称;反之,如果物理变量关系不对称,那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表述,是因为在不同的场合,对于不同的对象,两种表述有各自的方便之处,如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的,

4、后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。关于非线性概念需要强调的是,线性或非线性的提法是相对于物理变量而言的,也就是说,只有物理变量的关系才是判断是否是非线性的根据,而非物理变量的关系不能成为非线性与否的判据。这里所说的物理变量是指那些可以观测的、人们感兴趣的、对人类有意义的变量。例如分形理论中,简单分形的分维D是恒量,在无标度区间内lnN=DlnL,lnN与lnL是线性关系,但是显然不能籍此得出简单分形是线性的结论。这里的物理变量是N和L,而不是经过对数变换的nN与lnL,即人们可观测的、感兴趣的、对人们有意义的是N和L,而不

5、是lnN和lnL,N与L的关系N=LD是非线性的,所以可得出分形是非线性的结论。再如,物价对时间的直接关系(而不足Mandbrolt所统计的棉花价格指数的无标度性)正是人们感兴趣的、对人们有意义的,而且两者的关系是非线性的,所以物价随时间的变化是一种非线性现象。说明狭义的非线性是指不按比例、不成直线的数量关系,无法用线性形式表现的数量关系,如曲线、曲面等。而广义上看,是自变量以特殊的形式变化而产生的不同于传统的映射关系,如迭代关系的函数,上一次演算的映射为下一次演算的自变量,显然这是无法用通常的线性函数描绘和形容的。很显然,自然界事物的变化规律不是像简

6、单的函数图像,他们当中存在着并非一一对应的关系。如果说线性关系是互不相干的独立关系,那么非线性则是体现相互作用的关系,正是这种相互作用,使得整体不再是简单地全部等于部分之和,而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。详细释义编辑非线性的性质非线性科学正处于发展过程之中,它所研究的各门具体科学中的非线性普适类,有已经形成的(如混沌、分形、孤子),有正在形成的(如适应性与自涌行为),还会有将要形成的,所以非线性的性质还没有完全呈现出来,这里也就不可能全面地讨论非线性的性质。下面仅从“非线性与线性的关系”、“非线性的物理机制”和“非线性与稳定性”三个方面作初

7、步探讨。(1)非线性与线性的关系非线性与线性是相对而言的,两者是一对矛盾的概念,一方面两者在一定程度上可以相互转化,另一方面两者又存在本质区别,再者两者同时存在于—个系统中,规定着系统相应方面的性质。①非线性与线性的密切联系首先,在数学上一些线性方程可转化为非线性方程来解。物理上的一些非线性问题,也可以通过数学变换而转化为线性方程来研究。如非线性的KdV方程通过散射反演方法化为线性的可积方程,从而求出了精确的解析解;一些非线性不强的问题,可用线性逼近方法将其转化为若干线性问题来求近似解,这是已在各门学科中广泛采用并相当有效的的方法。其次,在某些情况下,

8、由方程得到的解析解并不能提供更多的信息,无助于更好地理解系统的行为,而从解的非线性形式中,我们

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