三角形内外角平分线定理.doc

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1、三角形内角与外交平分线定理一、内角平分线定理已知:如图所示,AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。求证:BA/AC=BD/DC;思路1:过C作角平分线AD的平行线。证明1:过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。则:BA/AE=BD/DC;∵   ∠BAD=∠AEC;(两线平行,同位角相等)     ∠CAD=∠ACE;(两线平行,内错角相等)      ∠BAD=∠CAD;(已知)∴   ∠AEC=∠ACE;(等量代换)∴   AE=AC; ∴ BA/AC=BD/DC。结论1:该证法具有普遍的意义。引出三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比

2、。思路2:利用面积法来证明。已知:如图8-4乙所示,AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。求证:BA/AC=BD/DC证明2:过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F;∵   ∠BAD=∠CAD;(已知)∴     DE=DF;∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC;(等高时,三角形面积之比等于底之比)   BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC;(同高时,三角形面积之比等于底之比)∴ BA/AC=BD/DC结论2:遇到角平分线,首先要想到往角的两边作平行线,构造等腰三角形或菱形,其次要想到往角的两边作垂线,构造翻转的直角三角形全等,第三,要想到长截短补法。二、外角平分线定

3、理已知:如图所示,AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。求证:BA/AC=BD/DC思路1:作角平分线AD的平行线。证明1:过C作CE∥DA与BA交于E。则:BA/AE=BD/DC∵   ∠DAF=∠CEA;(两线平行,同位角相等)     ∠DAC=∠ECA;(两线平行,内错角相等)     ∠DAF=∠DAC;(已知)∴   ∠CEA=∠ECA;(等量代换)∴     AE=AC;∴    BA/AC=BD/DC。结论1:该证法具有普遍的意义。引出三角形外角平分线定理:如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段,那么这两条线段和相邻的两边应成比例思路2:利用面

4、积法来证明。已知:如图8-5乙所示,AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。求证:BA/AC=BD/DC.证明2:过D作DE⊥AC于E,DF∥⊥BA的延长线于F;∵   ∠DAC=∠DAF;(已知)∴     DE=DF;∵    BA/AC=S△BAD/△DAC;(等高时,三角形面积之比等于底之比)      BD/DC=S△BAD/△DAC;(同高时,三角形面积之比等于底之比)∴    BA/AC=BD/DC结论2:使用面积法时,要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中,我们看△BAD和△DAC的面积时,先以BA和AC作底,而以DF、DE为等高。然后

5、以BD和DC为底,而高是同高3.如图,在△ABC中,AD是角BAC的平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.图3.1-8

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