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《实变函数第一章答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题1.11．证明下列集合等式．(1)；(2)；(3)．证明(1).(2)=.(3).2．证明下列命题．(1)的充分必要条件是：；(2)的充分必要条件是：Ø；(3)的充分必要条件是：Ø．证明(1)的充要条是：(2)必要性.设成立，则,于是有,可得反之若取,则,那么与矛盾.充分性.假设成立,则,于是有,即(3)必要性.假设,即若取则于是但与矛盾.充分性.假设成立,显然成立,即.3．证明定理1.1.6．定理1.1.6(1)如果是渐张集列,即则收敛且(2)如果是渐缩集列,即则收敛且证明(1)设则对任意存在使得从而所以则又因为由此可见收敛且(2)当时,对于存在使得于是对于任意的存
2、在使得,从而可见又因为所以可知收敛且4．设是定义于集合上的实值函数，为任意实数，证明：(1)；(2)；(3)若，则对任意实数有．证明(1)对任意的有则存在使得成立.即那么故另一方面,若则存在使得于是,故.则有(2)设,则,从而对任意的,都有,于是,故有另一方面,设,则对于任意的,有,由的任意性,可知,即,故.(3)设,则.由可得对于任意的,存在使得,即,即,故,所以,故；另一方面,设,则对任意有.由下极限的定义知：存在使得当时,有,即对任意有;又由知即对任意的,存在使得当时,有.取,则有与同时成立,于是有,从而,由的任意性知：,即,故有;综上所述：5．证明集列极限的下列性
3、质．(1)；(2)；(3)；(4)．证明(1).(2).(3).(4).6．如果都收敛，则都收敛且(1)；(2)；(3)．习题1.21．建立区间与之间的一一对应．解令,,,则,.定义为:则为之间的一个一一对应.2．建立区间与之间的一一对应，其中．解定义:为:可以验证:为一个一一对应.3．建立区间与之间的一一对应，其中．解令，.定义为:可以验证:为一个一一对应.4．试问：是否存在连续函数，把区间一一映射为区间?是否存在连续函数，把区间一一映射为?答不存在连续函数把区间一一映射为;因为连续函数在闭区间存在最大、最小值.也不存在连续函数把区间一一映射为;因为连续函数在闭区间上存
4、在介值性定理,而区间不能保证介值性定理永远成立.5．证明：区间且．证明记,则.任取,设为实数正规无穷十进小数表示,并令,则得到单射.因此由定理1.2.2知.若令,则.从而由定理1.2.2知:.最后,根据定理知:.对于,定义为:,则为的一个一一对应,即.又因为:,则由对等的传递性知:且.6．证明：与对等并求它们的基数．证明令,,.则.定义:为:可以验证:为一一对应,即.又因为,所以.7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数．证明对任意的取有限区间则,则由定理知,同理.故.习题1.31．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集是可数集．证明因为有理数集是可数集，平面
5、上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以中的每个元素由中的六个相互独立的数所确定，即所以为可数集.2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集最多是可数集．证明对于任意的,使得.因此可得：.因为与不相交，所以.故为单射，从而.3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．证明(2)当可数时，存在双射.因为所以.其中：.又因为且可数，所以可表示成可数个两两不交的无限集之并．当不可数时，由于无限，所以存在可数集,且不可数且无限，从而存在可数集，且无限不可数.如此下去，可得都
6、可数且不相交，从而.其中无限且不交.4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．证明有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．证明不妨设函数在单调递增，则在间断当且仅当.于是，每个间断点对应一个开区间.下面证明：若为的两个不连续点，则有.事实上，任取一点，使，于是，从而对应的开区间与对应的开区间不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集
7、.7．证明：若存在某正数使得平面点集中任意两点之间的距离都大于，则至多是可数集．证明定义映射，即，其中表示以为中心，以为半径的圆盘.显然当时，有，即，于是为双射，由第2题知：，故.习题1.41．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间中的全体有理数之集的基数是什么?答直线上一切闭区间之集的基数是.这是因为：为单射，而为满射，所以.区间中的全体有理数之集的基数是，这是因为：.2．用表示上的一切连续实值函数之集，证明：(1)设，，则；(2)公式定义了单射；(3)．证明(1)必要性.显然.充分性.假设成立.因为，存在有理数列，使得，由，
