实变函数第四章复习题及解答(1).doc

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1、第四章复习题（一）一、判断题1、设是可测集上的非负简单函数，则一定存在。（√）2、设是可测集上的非负简单函数，则在上勒贝格可积。（×）3、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（√）4、设是可测集上的非负可测函数，则一定存在。（√）5、设是可测集上的非负可测函数，则在上勒贝格可积。（×）6、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（√）7、设是可测集上的可测函数，则一定存在。（×）8、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则一定存在。（√）9、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则在上

2、勒贝格可积。（×）10、设是可测集上的可测函数，若且，则在上勒贝格可积。（√）11、设是可测集上的可测函数，若，则。（√）12、设是可测集上的可测函数，若且，则。（√）13、若为零测集，为上的任何实函数，则。（√）14、若，则。（√）15、若，则。（√）16、若，则。（√）17、若，为的可测子集，则。（√）18、在上勒贝格积分值存在。（×）19、若，且，，则于。（√）20、若在上可积，则若在上可积，且。（√）21、若，，且于，则。（√）22、若，，则于。（×）23、若，则于。（×）24、若与存在，且，则。（√）25、若存

3、在，是的可测子集，且，则。（×）26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。（×）二、计算题1、设，求。解：因为有理数集为零测集，所以，于，于是。2、设，其中为中的三分康托集，求。解：因为，所以，于，于是。三、证明题1、设是可测集上的可测函数，且，，则。证明：由题设及不等式性，有。所以，，从而。2、，。则，且。证明：因为，而由，得，，即。所以，。3、设，是的可测子集，且，若，则。证明：因为是的可测子集，且，所以，，从而由得，。又，由积分的绝对连续性，。4、设，若对任意有界可测函数都有，则于。证明：由题设，取，显然为上的有界可

4、测函数，从而。所以，于，即于。5、设，，证明（1）；（2）。证明：由得，（1）。（2）由（1），注意到，由积分的绝对连续性得，，从而注意到，所以，。