平行四边形典型例题.doc

《平行四边形典型例题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、平行四边形典型例题　　　　　　　　　　　　　1．已知如图12-1-19，所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OF⊥BC于F．求证：四边形AECF是平行四边形错证：在△AOE和△COF中∵OE⊥AD，OF⊥BC ∴∠AEO=∠CFO=90°∵四边形ABCD为平行四边形∴OA＝OC，AD∥BC  ∴∠EAC＝∠ACF∴△AOE≌△COF（AAS）  ∴OF=OE∴四边形AECF是平行四边形错误分析：上面证明由OF＝OE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线．正

2、确证明：在△AOE和△COF中∵OE⊥AD OF⊥BC ∴∠AEO＝∠CFO＝90°∵四边形ABCD为平行四边形∴OA＝OC，AD∥BC  ∴∠EAC=∠ACF∴△AOE≌△COF（AAS） ∴OF＝OE又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC∴E、O、F三点共线∴四边形AECF是平行四边形2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形．分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共

3、线．解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单．证明：在Rt△ABC中 ∵AC＝BC ∴∠B=45°又∵E、D分别为AC、BC的中点∴EC＝DC ∴∠CED＝∠CDE＝45°∴∠AEF＝∠CED＝45° ∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180°∴F、E、D在一条直线上 ∵∠EAF＝∠C＝90° ∴AF∥CD又∵AF＝CD＝DB ∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B＝45°3．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形

4、AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便．分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分．证明方法（一）在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE．∴△ABF≌△CDE ∴AF＝CE同理可证AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形方法（二）连AC交BD于O在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD∵BF＝DE ∴OE=OF ∴四边形AECF为平行四边形4．如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？分析：这是一道生活实践题

5、，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行．解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行．如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形．5．已知如图12-1-4所示，□ABCD中，AB的延长线上取一点E，使BE＝AB，在CE上取一点M使CM＝CD，连结DM并延长交AE的延长线于点F求证：BD＝BF分析：由于

6、BD，BF是△BDF的两边，所以要证BD＝BF，可由证△BDF中∠BDF＝∠F入手，易知∠F＝∠CDM=∠CMD＝∠EMF，故只要证BD∥CE，由此由证法一又注意到BF＝BE+EF，易知BE＝AB＝CD＝CM，EF＝EM，故BF＝CE，从而只要证BD＝CE，由此有证法二．证法（一）：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴ABCD又∵E点在AB延长线上，且BE＝AB  ∴ABCD∴四边形BECD是平行四形  ∴BD∥CE  ∴∠BDF＝∠EMF∵∠EMF＝∠CMD   ∴∠BDF＝∠CMD又∵CM＝CD  ∴∠CMD=∠CDM  ∴∠BDF＝∠CDM∵A

7、F∥CD ∴∠CDM＝∠F ∴BDF＝∠F即BD＝BF证法（二）：∵四边形ABCD为平行四边形  ∴ABCD又∵E点在AB延长线上且BE＝AB  ∴BECD∴四边形BECD是平行四边形 ∴BD＝CE，BE＝CD又∵∠EMF=∠CMD，CD＝CM  ∴∠CMD=∠CDM∴∠EMF=∠CDM ∵BE∥CD  ∴∠F＝∠EMF ∴EF＝EM∴BF＝BE+EF＝CD+EM=CM+EM＝CE＝BD即BF＝BD习题精选　　　　　　一、填空题　　1．过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F，则四边形AECF是            .　　

8、2．延长△ABC的中线AD到E，使DE＝AD 则四边形ABEC是         四边形．　　3．在四边形ABCD中∠A＝50°欲使四边