平行四边形中的动点问题.doc

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1、平行四边形中的动点问题动点题是近年来中考的的一个热点问题,解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”,以不变应万变,首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量,第二,按照图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式,把相关的量用一个自变量的表达式表达出来,然后再根据题目的要求,依据几何、代数知识解出。第三,确定自变量的取值范围,画出相应的图象。一、例题:如图,在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD.一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿A→B→

2、C的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD.(1)当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面积;(2)当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.①求S关于t的函数关系式;②(附加题)求S的最大值。解题思路:第(1)问比较简单,就是一个静态问题当点P运动2秒时,AP=2cm,由∠A=60°,知

3、AE=1,PE=.∴SΔAPE=第(2)问就是一个动态问题了,题目要求面积与运动时间的函数关系式,这就需要我们根据题目,综合分析,分类讨论.P点从A→B→C一共用了12秒,走了12cm,Q点从A→B用了8秒,B→C用了2秒,所以t的取值范围是0≤t≤10不变量:P、Q点走过的总路程都是12cm,P点的速度不变,所以AP始终为:t+2若速度有变化,总路程=变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×(t-变化点所用时间).如当8≤t≤10时,点Q所走的路程AQ=1×8+2(t-8)=2t-8①当0≤t≤6时,

4、点P与点Q都在AB上运动,设PM与AD交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=,QF=,AP=t+2,AG=1+,PG=.∴此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形,其面积为(PG+QF)×AG÷2S=.当6≤t≤8时,点P在BC上运动,点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=,DF=4-(总量减部分量),QF=,AP=t+2,BP=t-6(总量减部分量),CP=AC-AP=12-(t+2)=10-t(总量减部分量),PG=,而BD=,故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行

5、四边形的面积减去两个三角形面积S=.当8≤t≤10时,点P和点Q都在BC上运动.设PM与DC交于点G,QN与DC交于点F,则AQ=2t-8,CQ=AC-AQ=12-(2t-8)=20-2t,(难点)QF=(20-2t),CP=10-t,PG=.∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.②(附加题)当0≤t≤6时,S的最大值为;当6≤t≤8时,S的最大值为;当8≤t≤10时,S的最大值为;所以当t=8时,S有最大值为.二、练习:1.如图,正方形ABCD的边长为5cm,Rt△EFG中,∠G=90°,FG=4cm,EG=3cm,且点B

6、、F、C、G在直线上,△EFG由F、C重合的位置开始,以1cm/秒的速度沿直线按箭头所表示的方向作匀速直线运动.(1)当△EFG运动时,求点E分别运动到CD上和AB上的时间;(2)设x(秒)后,△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y(cm),求y与x的函数关系式;(3)在下面的直角坐标系中,画出0≤x≤2时(2)中函数的大致图象;如果以O为圆心的圆与该图象交于点P(x,),与x轴交于点A、B(A在B的左侧),求∠PAB的度数.2.已知,如图,在直角梯形COAB中,CB∥OA,以O为原点建立平面直角坐标系,A、B、C的坐标分别为A(

7、10,0)、B(4,8)、C(0,8),D为OA的中点,动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动,速度为每秒1个单位,移动时间记为t秒,(1)动点P在从A到B的移动过程中,设△APD的面积为S,试写出S与t的函数关系式,指出自变量的取值范围,并求出S的最大值(2)动点P从出发,几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1:3两部分?求出此时P点的坐标3.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(3,0),(3,4)。动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动。其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿

8、BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC,交AC于P,连结MP。已知动点运动了x秒。(1)P点的坐标为(,);(用含x的代数式表示)(2)试求⊿MPA面积的最大值,并求此时x的值。(3)请你探索:当x为何值时,⊿MPA是一个

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