结构动力学习题解答(三四章).doc

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1、第三章多自由度系统3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。m1m2m3　　　　　　　　K5　　　　　　　　　　　　　　　　K6　　　　　　　K1　　　　　　　　K2　　　　　　　　K3　　　　　　　　K4　　图３－１０解：（1）系统自由度、广义坐标图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标；（2）系统运动微分方程根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：整理如下写成矩阵形式（1）（3）系统特征方程设代入系统运动微分方程（1）得系统特征方程（2）（4）系统频率方程系统特征方程（2）有非零解的充

2、要条件是其系数行列式等于零，即展开得系统频率方程进一步计算得(3)其中求解方程（3）得系统固有频率（4）（5）系统固有振型将系统固有频率代入系统特征方程（2）得系统固有振型，即各阶振型之比：（5）（6）系统振动方程（6）在方程（6）中含有6个待定常数：、、、、和。它们由初始条件、、、、和确定。3.2若３.１题中m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，求该系统的固有频率和固有振型。解：若m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，则系统频率方程（

3、3）成为化简3.3求图3-11所示的三垂摆作微振动的固有频率和固有振型。解：（1）系统自由度、广义坐标图3-11所示的三垂摆系统自由度N=3，广义坐标取、和；ox　（2）系统中A、B、C三质点的坐标　　　　　　　　　　　　LAmL（2）系统中A、B、C三质点的速度BmLyCm图３－１１（3）系统中A、B、C三质点的动能因为对于微振动有；（4）系统中A、B、C三质点的势能；(5)L=T-V;根据拉格朗日定理：得：（1）求固有频率和固有振型：；解得固有频率：固有振型：；3.4两端由弹簧支撑的刚性均质杆，质量均为没，在B处用铰链

4、连接，如图3-12所示，如选取B点的竖直位移y和两杆绕B点的转角为广义坐标，试从特征方程出发，求系统的固有频率和固有振型。xyABCkkkll图3-12（1）AB杆的动能：；AB杆的势能：；（2）BC杆的动能：；BC杆的势能：；（3）三根弹簧的势能：；（4）；由拉格朗日方程可得：；令；（5）由令解得：固有频率：；固有振型：3.5试求图3-13所示系统的振动方程，并求其固有频率和固有振型。I3I3K1K2K3I2解：（1）以为广义坐标，建立系统的运动微分方程：系统的动能：系统的势能：图3-13；L=T-V；由拉格朗日方程得：

5、（2）当时可得固有频率：固有振型：3.6图3-14所示的两均质杆是等长的，但具有不同的质量，试求系统作微振动的振动方程，若，试求系统的固有频率和固有振型（设选取两杆的转角和为广义坐标，其中以顺时针方向为正，以逆时针方向为正）。m1k1m2k2图3-14解：（1）系统的动能：（2）系统的势能：(3)建立系统的运动微分方程：由拉格朗日方程由条件，将上述方程整理得：；从系统的特征方程解得固有频率；固有振型3.7试从矩阵方程出发，左乘，利用正交关系证明i=1，2，……，n其中n为系统自由度数。解：由式可得：；由正交关系可知：结论得

6、证.3.8图3-15中简支梁有三个置于它的四分之一点处的质量。试以微小的平动作为位移坐标，梁的自重忽略不计，其弯曲刚度为EI。假设，求系统的固有频率和固有振型，对振型规范化并画出各阶振型。图3-15yx解：（1）表示在点作用单位力而在点产生的挠度。利用图乘法可得：同理：；；；；；（2）以各小竖向位移为广义坐标，建立系统的运动微分方程：整理成矩阵形式：；固有频率：固有振型：正规化：各阶振型图：11.41421振型11-1振型211-1.4142振型33.9一轻型飞行器的水平稳定器被简化为3个集中质量系统的模型，见图3-16，

7、其刚度、质量矩阵和固有频率及模态形状已经求出。若飞行器遇到一突然的阵风，其产生的阶跃力为其中是单位阶跃力，如图3-16。（１）确定模态响应表达式，假设；（２）确定响应的表达式，并指出个模态的贡献。其中V1P1V2P2V3P3f(t)t1图3-16解：（1）进行坐标变换：（2）3.10一栋三层楼房，如图3-17，其刚度、质量矩阵和固有频率及振型如下：u1u3u2m3=2m1=1m3=2k3=2400k2=1600k1=800图3-17（1）确定模态质量、模态刚度矩阵M，K；（2）若确定模态力；（3）确定稳定响应的表达式；（4

8、）用模态位移法确定的响应，并指出各阶模态对响应的贡献，并列出当激振频率分别为时，的振幅随截取模态数变化的表格。解：（1）（2）（3）（4）阶数激振频率N=1N=2N=30.37420.37420.37490.49660.49660.4992-0.1102-0.1102-0.10573.11当3.10题中