概率论的基本概念.doc

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1、第一章概率论的基本概念【内容提要】一、随机事件及其运算关系1．随机现象在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。2．随机试验在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点:⑴.可以在相同条件下重复进行；⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；⑶.进行试验前不能确定到底会出现哪个结果。3．样本空间对于随机试验，尽管在试验之前不能预知其结果，但其所有可能结果是已知的，我们将随机试验的所有可能结果组成的集合称为其样本空间，用表示，并称为样本点。4．随机事件设是随机试验的样本空间，而，且满足:⑴.；⑵.,有；⑶.,有。则

2、称是随机试验的事件域，而称为随机事件。注:设为随机事件，则⑴.发生包含于中的任一样本点发生；⑵.必然事件即样本空间，而不可能事件即空集。5．随机事件的运算关系设为随机事件，则⑴．事件的包含关系:；⑵．事件的相等关系:；⑶．事件的和运算:，；⑷．事件的积运算:，；积事件还可将省略，直接表示为；⑸．事件的差运算:；⑹．事件的互斥关系:；⑺．事件的对立关系:，这时记。若，有，则称两两互斥，这时，它们的和事件可表为:。注:事件的运算关系具有如下性质:⑴．交换律:；⑵．结合律:；⑶．分配律:；⑷．德摩根律:。二、随机事件的频率与概率1．随机事件的频率设在相同条件下，进行了次试验

3、，事件发生了次，则称为这次试验中事件发生的频率。事件的频率具有如下性质:⑴．非负性:，有；⑵．规范性:；⑶．单调性:若，则；⑷．可加性:若两两互斥，则；⑸．稳定性:当时，将稳定到某一确定的值，称这个数为事件在一次试验中发生的概率。事件的概率也具有类似的非负性、规范性、单调性及可加性。2．概率的公理化定义设是随机试验的样本空间，而随机试验的事件域，是定义于事件域上实值函数，且满足以下条件:⑴．非负性:，有；⑵．规范性:；⑶．可列可加性:对任意可列无穷多个两两互斥的事件，有。则称为事件的概率。事件的概率有如下性质:⑴.不可能事件的概率为零，即；⑵.有限可加性:若是两两互斥

4、的事件，则；⑶.单调性:若，则；⑷.对立事件的概率:；⑸.加法公式:对任意个事件，有:.三、概率的计算1．古典概率设随机试验的样本空间具有如下特点:⑴．是有限集合，即只包含(有限)个互异的样本点；⑵．试验中每个样本点发生的可能性都相同；则称其为古典概率模型，此时，如果事件包含的样本点数为，则事件的概率应为:。2．几何概率设随机试验的样本空间具有如下特点:⑴．是无限集合，但其测度(长度、面积、体积等)有限，即；⑵．任一事件发生的概率与其测度成正比；则称其为几何概率模型，事件的概率应为。3．条件概率设为两个事件，则规定在事件发生的条件下事件发生的概率为:。条件概率也满足概

5、率的性质:⑴．非负性:，有；⑵．规范性:；⑶．可列可加性:若两两互斥，则。4．概率论基本公式⑴．乘法公式:设为个事件，则。⑵．全概率公式与公式:设两两互斥，且，则，且。5．事件的独立性:设为个事件，且其中任意个事件的积事件之概率都等于这个事件的概率之乘积，则称相互独立。【定理】设相互独立，，则⑴．两两独立，且；⑵．相互独立，且；⑶．。【第一章作业】一、单项选择题1、在下列四个条件中，能使一定成立的是()A．；B．独立；C．互斥；D．。2、设随机事件互斥，且，则()A．；B．；C．；D．。3、设为随机事件，且，则必有()A．；B．；C．；D．。4、将两封信随机地投入四个

6、邮筒中，则未向前面两个邮筒中投信的概率为()A．；B．；C．；D．。5、某人向一目标连续射击，直到命中目标为止，每次命中的概率为，则射击次数为的概率为()A．；B．；C．；D．。二、填空题1、将一枚均匀的硬币抛掷次，观察正、反面出现的情况，则此随机试验的样本空间为:；2、设为随机事件，用的运算关系表示下列事件:⑴．中至少发生一个:；⑵．中至多发生一个:；⑶．发生而不发生:。3、设为随机事件，且，则的最大值为，最小值为；4、设为随机事件，且，则中至少发生一个的概率为；5、设为随机事件，且，则。三、计算题1、在件产品中有件次品、件正品，任取件产品，求恰好有件次品的概率及至

7、少有件次品的概率。解:，。2、从双不同的鞋子中任取只，求所取的只鞋子中至少有只能配成一双的概率。解:。3、根据以往资料表明，某地区的三口之家中患某种传染病的情况有如下规律:,,求某三口之家中孩子及母亲得病而父亲未得病的概率。解:。4、某种商品的商标应为“”,其中两个字母脱落,有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“”的概率。解:用表示脱落的字母为商标“”中第个字母(从左数起)，，用表示将脱落的字母放回后仍为“”,则，，故。5、在件产品中有件次品、件正品，从中不放回地任取件产品，求下列事件的概率:⑴.两件都是正品:；⑵.两件都是次品:；⑶.一件是正品、另一