(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10 第44练 函数与方程思想 理.doc

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1、第44练 函数与方程思想[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y>0时,就化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决

2、有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.常考题型精析题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1 已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+(x>0),其中e表示自然对数的底数.(1)若g(x)=m有实根,求m的

3、取值范围;(2)确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 点评 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化,解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点,反之函数零点、函数图象交点个数问题也可转化为方程根的问题.变式训练1 已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为(  )A.-5B.-6C.-7D.-8题型二 函数与方程思想在不等式中的应用例2 已知函数f(x)=lnx-x+-1,g(x)=-x2+2bx-4

4、,若对任意x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,则实数b的取值范围为____________.点评 不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化.一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数.变式训练2 设f(x)=lnx+-1.证明:(1)当x>1时,f(x)<(x-1);(2)当1

5、例3 已知数列{an}是首项为2,各项均为正数的等差数列,a2,a3,a4+1成等比数列,设bn=++…+(其中Sn是数列{an}的前n项和),若对任意n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求实数k的最小值.        点评 数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似,但要注意数列问题中n的取值范围为正整数,涉及的函数具有离散性特点,其一般解题步骤:第一步:分析数列式子的结构特征.第二步:根据结构特征构造“特征”函数(方程),转化问题形式.第三步:研究函数性质.结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质,主要涉及函数单调性与最值、

6、值域问题的研究.第四步:回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究,回归问题.变式训练3 已知f(x)=x2-4x+4,f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)),函数y=fn(x)的零点个数记为an,则an等于(  )A.2nB.2n-1C.2n+1D.2n或2n-1题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,短轴长为,离心率为,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且=3.(1)求椭圆C的方程;(2)求m的取值范围.       点评 利用判别式法研究圆

7、锥曲线中的范围问题的步骤第一步:联立方程.第二步:求解判别式Δ.第三步:代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质,得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系,将其代换.第四步:下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中,即可求出目标参数的取值范围.第五步:回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时,无论题目中有没有涉及求参数的取值范围,都不能忽视了判别式对某些量的制约,这是求解这类问题的关键环节.变式训练4 如图所示,设椭圆C1:+=1的左,右焦点分别是F1,F2,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),若抛物线C2:y=mx2-n(m>0

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