ECC加密算法入门介绍.doc

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1、ECC加密算法入门介绍前言  同RSA（RonRivest，AdiShamir，LenAdleman三位天才的名字）一样，ECC（EllipticCurvesCryptography，椭圆曲线密码编码学）也属于公开密钥算法。一、从平行线谈起。  平行线，永不相交。没有人怀疑把：）不过到了近代这个结论遭到了质疑。平行线会不会在很远很远的地方相交了？事实上没有人见到过。所以“平行线，永不相交”只是假设（大家想想初中学习的平行公理，是没有证明的）。既然可以假设平行线永不相交，也可以假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点P∞（请大家闭上眼睛，想象一下那个无穷远点P∞，P∞

2、是不是很虚幻，其实与其说数学锻炼人的抽象能力，还不如说是锻炼人的想象力）。给个图帮助理解一下：   直线上出现P∞点，所带来的好处是所有的直线都相交了，且只有一个交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把原来平面上的点叫做平常点。  以下是无穷远点的几个性质。▲直线L上的无穷远点只能有一个。（从定义可直接得出）▲平面上一组相互平行的直线有公共的无穷远点。（从定义可直接得出）▲平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。（否则L1和L2有公共的无穷远点P，则L1和L2有两个交点A、P，故假设错误。）▲平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线。（自己想象一下这条直线吧）

3、▲平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面。二、射影平面坐标系  射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系（就是我们初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系）的扩展。我们知道普通平面直角坐标系没有为无穷远点设计坐标，不能表示无穷远点。为了表示无穷远点，产生了射影平面坐标系，当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点（数学也是“向下兼容”的）。  我们对普通平面直角坐标系上的点A的坐标（x,y）做如下改造：  令x=X/Z，y=Y/Z（Z≠0）；则A点可以表示为（X:Y:Z）。  变成了有三个参量的坐标点，这就对平面上的点建立了一个新的坐标体系。  例2.1：求点（1,2）在新的坐标体系

4、下的坐标。  解：∵X/Z=1，Y/Z=2（Z≠0）∴X=Z，Y=2Z∴坐标为（Z:2Z:Z），Z≠0。即（1:2:1）（2:4:2）（1.2:2.4:1.2）等形如（Z:2Z:Z），Z≠0的坐标，都是（1,2）在新的坐标体系下的坐标。  我们也可以得到直线的方程aX+bY+cZ=0（想想为什么？提示：普通平面直角坐标系下直线一般方程是ax+by+c=0）。新的坐标体系能够表示无穷远点么？那要让我们先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识，我们知道无穷远点是两条平行直线的交点。那么，如何求两条直线的交点坐标？这是初中的知识，就是将两条直线对应的方程联立求解。平行直线的方程是：aX+b

5、Y+c1Z=0；aX+bY+c2Z=0 (c1≠c2)；（为什么？提示：可以从斜率考虑，因为平行线斜率相同）；  将二方程联立，求解。有c2Z=c1Z=-（aX+bY），∵c1≠c2∴Z=0 ∴aX+bY=0；所以无穷远点就是这种形式（X：Y：0）表示。注意，平常点Z≠0，无穷远点Z=0，因此无穷远直线对应的方程是Z=0。  例2.2：求平行线L1：X+2Y+3Z=0与L2：X+2Y+Z=0相交的无穷远点。  解：因为L1∥L2所以有Z=0，X+2Y=0；所以坐标为（-2Y:Y:0），Y≠0。即（-2:1:0）（-4:2:0）（-2.4:1.2:0）等形如（-2Y:Y:0），Y≠0

6、的坐标，都表示这个无穷远点。  看来这个新的坐标体系能够表示射影平面上所有的点，我们就把这个能够表示射影平面上所有点的坐标体系叫做射影平面坐标系。练习：   1、求点A(2,4)在射影平面坐标系下的坐标。   2、求射影平面坐标系下点(4.5:3:0.5)，在普通平面直角坐标系下的坐标。   3、求直线X+Y+Z=0上无穷远点的坐标。   4、判断：直线aX+bY+cZ=0上的无穷远点和无穷远直线与直线aX+bY=0的交点，是否是同一个点？三、椭圆曲线  上一节，我们建立了射影平面坐标系，这一节我们将在这个坐标系下建立椭圆曲线方程。因为我们知道，坐标中的曲线是可以用方程来表示的（比

7、如：单位圆方程是x2+y2=1）。椭圆曲线是曲线，自然椭圆曲线也有方程。  椭圆曲线的定义：  一条椭圆曲线是在射影平面上满足方程  Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3 ----------------[3-1]  的所有点的集合，且曲线上的每个点都是非奇异（或光滑）的。定义详解：  ▲Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3是Weierstrass方程（维尔斯特拉斯，KarlTheodorWilhel