《数学分析》（华师大二版）课本上的习题.doc

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1、P.73习题1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）（2）证明（1）的定义域为，对其定义域上任一点，有，故在连续，由的任意性知，在其定义域内连续.（2）的定义域为.对其定义域上任一点，，取，当时，有，故，从而在连续，由的任意性知，在其定义域内连续.2．指出下列函数的间断点并说明其类型：（1）；解在间断，因为不存在，所以是第二类间断点.（2）解在间断，因为，，故是的跳跃间断点.（3）解因为，所以在间断.由于，从而是的可去间断点.（4）解因为，所以在间断.由于，从而是的可去间断点.（5）解因为，所以在间断.由于，，，，故是的跳跃间断点.（6）解在间断.当时，极限不存在，故是的

2、第二类间断点.（7）解因为，不存在，故是的第二类间断点.，，故是的跳跃间断点.3．延拓下列函数，使其在R上连续：（1）解因为在无定义，且，于是延拓为函数，在R上连续.（2）解在无定义，，于是延拓为函数，在R上连续.（3）解在无定义，，于是延拓为函数，在R上连续.4．证明：若在点连续，则与也在点连续.又问：若与在点连续，那么在点是否必连续？证明设在点连续，即，，使得当时，有.这时有，故也在点连续.下面证明：也在点连续.因为在点连续，于是在极限存在，从而由极限的局部有界性知，存在及，使得当时，有.现在取，当时，有所以在点连续.若与在点连续，在点不一定连续.例如，.则在点连续，但在不

3、连续5．设当时，而.证明：与两者中至多有一个在连续.证明因为，所以，假设与两个都在连续，则.与题设矛盾，所以与两者中至多有一个在连续.6．设为区间I上的单调函数.证明：若为的间断点，则必是的第一类间断点.证明由教材P.54定理3.10及P.55习题5，知和都存在，所以是的第一类间断点.9．举出定义在[0,1]上分别符合下述要求的函数：⑴只在，和三点不连续的函数函数只在，和三点不连续⑵只在，和三点连续的函数设Dirichlet函数，则只在，和三点连续⑶只在（）上间断的函数函数，只在（）上间断⑷只在右连续，而在其他点都不连续的函数设为Dirichlet函数，则函数只在右连续P.81

4、习题1．讨论复合函数与的连续性，设（1）解，处处连续.，除外，处处连续，是跳跃间断点.（2）解，故是的跳跃间断点.，处处连续.2．设，在点连续，证明：（1）若，则存在，使在其内有；（2）若在某内有，则证明因为，在点连续，故，.（1）由于，故由教材P.52习题7（2），知存在，使在其内有.从而在内，有.（2）证明的方法与教材P.49定理3.5类似：设在内，有.因为，，所以，分别存在，使得当时有，当时有.令，则当时，有，从而.由的任意性，可得.3．设，在区间上连续，记，证明和也都在上连续.证明由教材P.21总练习题1，有因为，在区间上连续，所以在上连续，再由P.73习题4，知在上连

5、续，从而由连续函数的四则运算定理4.4，和都在上连续.4．设为上连续函数，常数，记，证明F在R上连续.证明因为，于是由第3题，知F在R上连续.另解，而，，，都是连续函数.5．设，，证明：复合函数在连续，但在不连续.证明，处处连续.因为，，在的左、右极限不相等，故在的极限不存在，从而在不连续.6．设在上连续，且存在，证明：在上有界.又问在上必有最大值或最小值吗？证明因为存在，所以由函数极限的局部有界性知，存在，使得在上有界.又因为在上连续，于是由闭区间上连续函数的有界性知，在上有界，从而在上有界.在上不一定有最大值或最小值.例如函数在上连续，但没有最小值；函数在上连续，但没有最大

6、值.7．若对任何充分小的，在上连续，能否由此推出在内连续.证明能推出在内连续.证明如下：，取，于是，由题设，在上连续，从而在连续.由的任意性知，在内连续.8．求极限：（1）（2）9．证明：若在上连续，且对任何，，则在上恒正或恒负.证明（反证法）假设在上不是恒正或恒负.则存在，使得，.不妨设，则在上连续，且与异号，由根的存在定理知，存在，使得，这与题设“对任何，”矛盾.10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.证明设实系数奇次方程为，.因为，，故存在，使得，.在上连续，于是由根的存在定理，存在，使得，即是方程的实根.11．试用一致连续的定义证明：若，都在区间上一致连续，则也在

7、上一致连续.证明因为，都在区间上一致连续，所以，分别存在，使得，当时有，当时有.取，则，当时有，所以也在上一致连续.12．证明在上一致连续.证明，由P.78例6知在上连续，从而在上一致连续.下面证明：在上一致连续.，取，，当时有，，所以在上一致连续.再由P.80例10知，在上一致连续.13．证明在上一致连续，但在上不一致连续.证明（1）设，，取，，当时有，所以在上一致连续.（2）在上，取，，取，，这时有，但.故在上不一致连续.14．设函数在区间上满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，